東京科学大理工学系数学'26年[1]
(1) xは無理数であり、有理数a，bおよび正の整数nにより
と表されるとする。このとき、
が成り立つような有理数p，qを求めよ。また、そのような有理数の組はただ一つに限ることを示せ。 (2) xは無理数であり、有理数a，bおよび正の整数nにより
と表されるとする。このとき、
が成り立つような有理数p，q，rを求めよ。また、そのような有理数p，q，rの組はただ一つに限ることを示せ。
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解答 nが正の整数と言っても、xが無理数なので、
は整数でなく無理数です。(1)は、
を解とする(有理数係数の)2次方程式を作れ、(2)は、
を解とする(有理数係数の)3次方程式を作れ、と言っているわけです。
まず、有理数a，b，無理数
に対し、
ならば
です。 ･･･(＊)
なぜなら、
だとすると、
であり、
が有理数になってしまうからです。
なら
です。
(1)だけなら、
を
に代入して、
⇔ 
の場合、xが無理数でなくなるので、
，よって、
，
とすればよいのですが、この考え方では(2)がややこしくなるので、少し工夫します。
･･･②①，②を比較して、
，
であれば、②が成り立ちます。
このp，qの組以外にも別の有理数の組
，
について、 
･･･③が成り立つとすると、②－③として、
，
は有理数です。(＊)より、
ではxが無理数でなくなるので
，よって、
かつ
であり、②をみたす有理数p，qの組は、
，
ただ一つに限ります。
，
......[答]また、上記より、
が成り立つような有理数p，qの組は、ただ一つに限られます。
･･･⑤④，⑤を比較して、
，
，
であれば、⑤が成り立ちます。
このp，q，rの組以外にも別の有理数の組
，
，
について、 
･･･⑥が成り立つとすると、⑤－⑥として、
･･･⑦ここで、
と仮定します(証明の技法を参照)。⑦は、
となりますが、簡単のため、
，
とおくと、A，Bは有理数であって、⑦は、
･･･⑧
となります。2次方程式⑧の解は、
です。このxが
に等しいとすると、
は有理数なので、無理数になるのは
(但し、
)であり、
，
として、 
･･･⑨となりますが、⑨の両辺を3乗すると、
nは正の整数、
は正の有理数、
は無理数なので、左辺は無理数、右辺は正の整数となって、矛盾を生じます。即ち、
とした仮定は誤りで、
です。これより⑦は、 
･･･⑩となります。ここで、
と仮定すると、 となり、xが有理数となって矛盾を生じます。即ち、
とした仮定は誤りで、
です。よって、⑩より、
，即ち、
かつ
かつ
であり、⑤を満たすp，q，rの組は、
，
，
に限られます。 また、上記より、
が成り立つような有理数p，q，rの組は、ただ一つに限られます。
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より、
，整理すると、
･･･①
より、
，整理すると、
･･･④
，
，
......[答]