の解は、左辺が因数分解できるなら、
より、
の
(a，b，c，dは実数，
) ･･･①より、の3解です。
，
，
が成立します(解と係数の関係と言います)。
となるとき、
または
，ですが、
の場合、
は実数解を持ちません。このときは、3次方程式の実数解は
のみです。複素数の範囲では、
(iは虚数単位)の2個の複素数解があります。
を作り、①の左辺のxに代入して0になるかどうか確かめます。0になれば、
という解があり、
と因数分解されます。
を考えます。ここでは、
とします。
のグラフは全実数xに対して連続で、
，
･･･② より、少なくとも1つ
となるxがあり、3次方程式
は少なくとも1つの実数解を持ちます。
として、
のとき、
は、2個の実数解s，t (
)を持ちます。増減表は以下のようになります。| x | s | t | |||
 | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
 |  |  |  |  | |
のとき、つまり、
かつ
のとき、②と合わせて、3次方程式
は、
に1実数解、
に1実数解、
に1実数解、合わせて3実数解を持ちます。
のとき、3次方程式
は、
に1実数解、重解
を持ちます。
のとき、3次方程式
は、重解
，
に1実数解を持ちます。
のとき、
なら、3次方程式
は、
に1実数解を持ちます。
なら、3次方程式
は、
に1実数解を持ちます。
のとき、
または
ですが、
は単調増加関数で、3次方程式
は、ただ1つの実数解を持ちます。
の係数で方程式を割って、
の係数を1にします。
と置いて、
，
とおくと、
を導入します。
より、
となるので、
(∵ 
)
･･･③
では、
，
，
として、
とおくと、
(
)，定数項を
(
)とおくと、
より、
，
は、
の2解で、
，
とすると、
，
(上記の'94日本医科大で出題された方程式)では、
，
，
として、
とおくと、
(
)，定数項を
(
)とおくと、
より、
，
は、
の2解で、
，
とすると、
，
