東工大数学'95年前期[3]
nを自然数とする。
(1) 
の増減を調べ、グラフの概形を描け。 (2) 楕円
と曲線
の交点のうち
でない方の座標を
とおく。このとき、
であることを示せ。
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解答 (2)では、はさみうちすることは察しがつきますが、はさむものがなかなか見つからないので苦労します。
(1) 
･･･① よって、
は単調増加で、
，
，
より、方程式
は
にただ1つの解αをもちます。即ち、 
，
･･･②また、
増減表は以下のようになります(関数の増減を参照)。
これより、グラフの概形は右図。
(2) 楕円：
･･･③ 曲線：
･･･④
③，④を連立して、
即ち、
･･･⑤
，
，
と(1)のグラフより、方程式⑤は、
の範囲にただ1つの解
をもちます。即ち、
，
･･･⑥
ここで、
をnの式で表せれば、
を考えることができますが、⑥を
について解くことはできません。そこで、
の各辺をnで割り、 として、はさみうちにすることを考えます。ですが、②を利用してもαをnで表すことができません。αよりも大きなものを探しても、
を考えることができません。これで暗礁に乗り上げます。そこで、
の利用を諦め、⑥に出てくる
を使うことを考えます。
なので、 
･･･⑦これも、このままでは
につながりません。
なので、⑦よりも大きくなるものを探すことになります。⑦の右辺にはマイナスがついているので、
よりも小さなもの、
よりも大きなものを探します。
より、 が使えそうですが、この右辺がαを含むままでは
の極限操作が行えないので、さらに②を利用します。 ∴ 
さらに、
，つまり
を用いて(ここではαよりも小さくなるものを考えていることに注意)、 結局、⑦より、
ここで、
とすると、右辺は、
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