東大理系数学'02年前期[5]
Oを原点とするxyz空間に点
，
，をとる。また、z軸上
の部分に、点
を線分
の長さが1になるようにとる。三角錐
の体積を
とおいて、極限
を求めよ。
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解答 東大としては軽めの区分求積法の問題です。
直角三角形
において、三平方の定理より、
∴ 
，
より、
三角形
の面積：
(三角形の面積の公式を参照)
よって、
被積分関数をyとおくと、
2乗して整理すると、
･･･②
従って、①の積分は、円②のx軸より上側の部分とx軸の間の部分の面積、つまり、半径
の円②の面積の
になります。
こうして、①の値は、
∴ 
......[答]
①の積分を円の面積の一部分として求める技巧は、東大では頻出の必須技巧です。必ず覚えておいてください。
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