東大理系数学'04年前期[2]
自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。
(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し、10の位の数をa，1の位の数をbとおいたとき、が偶数となるならば、bは0または4であることを示せ。
(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し、1000の位の数、100の位の数、10の位の数、および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば、その平方数は10000で割り切れることを示せ。


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解答　(1)は、結局、もとの数の1の位の数字で決まります。(2)は(1)が利用できそうです。なお、整数を参照して下さい。

(1) pを自然数、qを0から9の間の整数とします。3桁以上の平方数Nは10以上の整数の2乗なので、と表せます。
Nの10の位の数字aは、＋(の10の位の数字) の1の位の数字になります。Nの1の位の数字bはの1の位の数字になります。
はの偶奇は、＋(の10の位の数字)＋(の1の位の数字) の偶奇と一致します。
このうちは偶数だから、の偶奇は、(の10の位の数字)＋(の1位の数字) の偶奇と一致します。
に対して、(の10の位の数字)＋(の1位の数字) は、となります。
よって、が偶数となるのは、のときです。
bはの1の位の数字なので、のときで，のときで，のときでとなります。
よって、が偶数ならば、bは0または4です。

(2) 題意を満たす平方数 (nは自然数)の、10の位の数と1の位の数が等しいので、両者の和は偶数です。すると(1)が利用できます。
(1)より、の1の位は0または4です。

・の1の位の数字が0のとき、の下4桁は0000だから、は10000で割り切れます。

・の1の位の数字が4のとき、は下4桁は4444で偶数です。このとき、nも偶数であって、 (kは自然数)とおけます。
の下4桁が4444ですから、mを自然数として、とおくと、であって、の10の位の数と1の位の数の和、は偶数になります。すると、(1)より、の1の位の数は0か4のはずですが、の1の位の数字は1であって0でも4でもないので(1)と矛盾してしまいます。よって、の1位の数字は4になり得ないのです。

以上より、5桁以上の平方数の下4桁がすべて同じ数ならその平方数は10000で割り切れます。


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