東京大学理系2004年前期数学入試問題
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[1] xy平面の放物線
上の3点P，Q，Rが次の条件を満たしている。
は一辺の長さaの正三角形であり、点P，Qを通る直線の傾きは
である。
[解答へ]
[2] 自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。
(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し、10の位の数をa，1の位の数をbとおいたとき、
が偶数となるならば、bは0または4であることを示せ。 (2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し、1000の位の数、100の位の数、10の位の数、および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば、その平方数は10000で割り切れることを示せ。
[解答へ]
[3] 半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの円周に沿って滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は、円Cを2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。
[解答へ]
[4] 関数
(
)を次のように定める。
以下同様に、
に対して関数
が定まったならば、関数
を
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。
を満たす実数xの個数を求めよ。 (2) aを実数とする。
を満たす実数xの個数を求めよ。 (3) nを3以上の自然数とする。
を満たす実数xの個数は
であることを示せ。 [解答へ]
[5] rを正の実数とする。xyz空間内の原点O
を中心とする半径1の球をA，点P
を中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし、球Aと球Bの和集合とは、球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
(1) Vをrの関数として表し、そのグラフの概形を描け。
(2) 
となるとき、rの値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。 注意：円周率?は、
をみたす。
[解答へ]
[6] 片面を白色に、もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ、次の操作を繰り返し行う。
さいころを振り、出た目が1，2であれば左端の板を裏返し、3，4であればまん中の板を裏返し、5，6であれば右端の板を裏返す。
たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、1回目の操作で出たさいころの目が1であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。
(1) 「白白白」から始めて、3回の操作の結果、色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2) 「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
[解答へ]
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