東大理系数学'04年前期[5]
rを正の実数とする。xyz空間内の原点O
を中心とする半径1の球をA，点P
を中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし、球Aと球Bの和集合とは、球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
(1) Vをrの関数として表し、そのグラフの概形を描け。
(2) 
となるとき、rの値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。 注意：円周率π は、
をみたす。
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解答 回転体の体積を求める問題としては容易です。(2)の近似値も単に代入していくだけなので、平凡です。なお、中間値の定理を参照してください。
(1) ・
のとき、球Aと球Bは離れていて共通部分をもちません。球Aと球Bの和集合の体積Vは、半径1の球の体積の2倍です。よって、
・
のとき、球Aと球Bの共通部分は、右図の斜線部分をx軸のまわりに回転したものになります。これはさらに、円：
(yについて解くと、
)の
の部分をx軸のまわりに回転したもの2個分になります。従って、共通部分の体積
は、 和集合の体積は、半径1の球の体積の2倍から共通部分の体積を引いたものになります。
∴ 
以上まとめて、
......[答]
より、
において
よりVは増加(3次関数の増減を参照)。
グラフは右図。
(2) 
(
です)のとき、 
，
より、
となるrは
の範囲にただ1つあります。これを
とします。 と調べて行くと、
であり、
を四捨五入して小数第一位まで求めると、
......[答]大学専門課程に進むとよく出てくる泥臭い数値感覚を見ています。論理的に見ないで、大体の見当をつけます。答案では、
だけ調べてあれば十分です。
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(
)
とおくと、
においては、
で
は減少。
