東大理系数学'04年前期[3]
半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの円周に沿って滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は、円Cを2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。
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解答 Pは最初、円C上の定点A
にいたとして、反時計回りに円Cの内側を転がっていくとします。
円Dの中心をQ，円Cと円Dの接点をB，
，
とします。
すべることなく転がるので、円弧ABの長さ
と円弧PBの長さ
は等しく、
(一般角を参照)
∴ 
がx軸正方向となす角は、反時計回りを正として、
QはOを中心とする半径7の円周上を動きます。Qの座標は
，即ち、
(三角関数を参照)
∴ 
点Pの座標を
として、
，
･･･①
に一致します。
∴ 
このときの、Bの座標は
PがAを出発して再び円Cの円周に接するまでに、θ は、0から
まで動きます。
右図斜線部の面積をSとすると、
①を用いて、置換積分をします。
，
，x：
のとき、θ：
∴ 
ここで、
，
です。よって、
小さい方の部分の面積は、扇形OAEと三角形OEFの面積の和からSを引けばよいので、
......[答]
です)
大きい方の部分の面積は、円の面積から小さい方の面積を引いて、
......[答]
フーッ！大変ですね。これくらいの忍耐力がなくてどうする、と、東大の先生はおっしゃりたいのでしょうけれど、実戦的には、体力に自信のある肉体派以外の人は、式だけ書いてパスですね。こういうのにこだわると大ケガのもとです。
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