東大理系数学'08年前期[2]
白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を、等確率
で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。 以下の問(1)，(2)に答えよ。
(1) 最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)をn回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
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解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)，(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。
(1) 1回目に白を引く(確率
)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(確率
)と全て黒になります。この確率は、
(独立試行の確率を参照) このとき、2回目に黒を引く(確率
)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、
回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、
回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
......[答]
(2) 1回目に白を引くと、白が2枚、黒が4枚となり、2回目に白を引くと、白が1枚、黒が5枚となり、3回目に白を引くと、6枚とも黒になります。
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1回目の操作で、無条件に、確率1で、②になります。
で③に移行し、6枚中4枚の方を引く確率は
で①に移行します。
で④に移行し、6枚中5枚の方を引く確率は
で②に移行します。
回目の操作後に②だったとして、
回目の操作で②に戻るのは、②→③→②となるか、②→①→②となる場合です。
，②→①→②となる確率は、
回目の操作後に②で
回目の操作で②に戻る確率は、
(和事象・積事象・余事象を参照)
回目の操作後に②だったとして、
回目の操作で④に至るのは、②→③→④となる場合で、その確率は、
回目の操作で②になっている確率は、
回の操作で④，つまり、6枚とも同じ色のカードになるのは、
回目に②の状態で、その後、2回続けて、少ない方の色を引いた場合で、
回の操作では、①か③の状態にあり、6枚とも同じ色になることはありません。
......[答]