東大理系数学'08年前期[5]
自然数nに対し、
を
で表す。たとえば
,
,
である。
(1) mを0以上の整数とする。
は
で割り切れるが、
では割り切れないことを示せ。 (2) nが27で割り切れることが、
が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。
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解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。
(1) こういうタイプの問題では、数値代入して、問題のカラクリをつかむことから始めます。
のとき、は、
で割り切れるが、
では割り切れません。・・・(*)
のとき、
・・・@
・・・Aは、
で割り切れるが、
では割り切れません。mのときに、
のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、
の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。
自然数nに対して、
は9の倍数なので、pを自然数として、
と置くことができます。
従って、2つの自然数m,nに対して、a,bを自然数として、 は、3で割り切れるが9では割り切れません。・・・(**)
数学的帰納法により、題意を示します。
(T)
のとき、(*)より、題意は成立します。 (U)
のとき、題意が成立するとして、
は、
で割り切れるが、
では割り切れない、と、仮定します。
のとき、(**)より、これは、
で割り切れるが、
では割り切れません。(T),(U)より、題意が示されました。
(2) 「nが27で割り切れる ⇒
が27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。
,
,・・・ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。
÷9=1÷9=0あまり1
÷9=11÷9=1あまり2
÷9=111÷9=12あまり3
÷9=1111÷9=123あまり4
÷9=11111÷9=1234あまり5
÷9=111111÷9=12345あまり6
÷9=1111111÷9=123456あまり7
÷9=11111111÷9=1234567あまり8規則性があってキレイだなあ、などと、感心している場合ではありません。ずっとやると疲れるので、やめます。
これで、
〜
は、9では割り切れないことがわかりました。(1)で、
は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。
として、
を調べます。 @より、
・・・B と書けるので、 第1項は9の倍数ですが、
は上記のように9の倍数ではなく、
は9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)。
Bを用いて、
は9の倍数ですが27の倍数ではなく、
は3の倍数ではなく、
は9では割り切れるが、27では割り切れません。
として、
を調べます。Bを使って、9の倍数と9の倍数でないものの和の形なので、
は9で割り切れません。
これで、
〜
が27で割り切れないことがわかりました。mを自然数として、Aより、
と書けるので、 

(
の
の項を中カッコ内から外に出して、
をくくりだした)
(二項定理を参照)
は(1)より27で割り切れるので、
は、27で割り切れます。mを自然数、
として、27の倍数と27の倍数でないものの和の形なので、
は27では割り切れません。
以上より、nが27で割り切れることが、
が27で割り切れるための必要十分条件であることが示されました。
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