東大理系数学'10年前期[1]

東大理系数学'10年前期[1]

3辺の長さがaとbとc の直方体を、長さがbの1辺を回転軸として

回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をa，b，cを用いて表せ。
(2)

のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。

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解答　東大としては古典的な2変数関数の問題です。1文字を固定することにより解決します。

(1) 立体Vの底面は右図のようになっています。黒実線の長方形を回転軸の回りに

回転したときに長方形が通過する領域です。

立体Vの底面積Sは、半径

の円の

と、直角をはさむ2辺がc，aの直角三角形2個を合わせて、

立体Vの体積Wは、

......[答]

(2) ①より、a，b，cはいずれも正数なので、

，

です。a，b，cの3変数ありますが、関係式：

　･･･①

があるので、実質的に2変数です。bを固定すると、

　･･･②

よりcを消去することができます。ここで、

より、

と合わせて、

　･･･③

(1)の結果に②を代入して、

bを固定してWをaの2次関数

と見ると、

と③より、Wは、

　･･･④

の範囲の値をとり得ます。

，

ここで、

とおくと、

とすると、

，

b	0				1
		＋	0	－
	0				0

，増減表より(3次関数の増減を参照)、

これより、bを

の範囲で動かすとき、

，

のとり得る値について、

，

　･･･⑤

が成り立ちます。よって、④より、Vの体積Wのとりうる値の範囲は、

......[答]

追記．④，⑤で

となるのは、

かつ

または

のときです。

のときには

，

のときには

です。つまり、直方体が薄くなり、その2辺が、

かつ

(このとき

)，または、

かつ

(このとき

)の長方形薄板に近づくときです。
⑤で

となるのは、

または

のときです。

のとき、a，cにかかわらず、

となります。

のとき、

かつ

となります。
これより、

となるのは、直方体が、辺bの方向に薄くなる(直方体が厚さ0で2辺がa，cの長方形に近づく。

または

のときに長さ1の棒を回転する場合を含む)か長さ1の細長い棒になるときです。

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