東大理系数学'10年前期[1]
3辺の長さがaとbとc の直方体を、長さがbの1辺を回転軸として
回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をa，b，cを用いて表せ。
(2) 
のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。
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解答 東大としては古典的な2変数関数の問題です。1文字を固定することにより解決します。
(1) 立体Vの底面は右図のようになっています。黒実線の長方形を回転軸の回りに
回転したときに長方形が通過する領域です。立体Vの底面積Sは、半径
の円の
と、直角をはさむ2辺がc，aの直角三角形2個を合わせて、 立体Vの体積Wは、
......[答]
(2) ①より、a，b，cはいずれも正数なので、
，
，
です。a，b，cの3変数ありますが、関係式： 
･･･①があるので、実質的に2変数です。bを固定すると、
･･･②よりcを消去することができます。ここで、
より、 
と合わせて、
･･･③(1)の結果に②を代入して、
bを固定してWをaの2次関数
と見ると、
と③より、Wは、 
･･･④の範囲の値をとり得ます。
，
ここで、
とおくと、
とすると、
，
，増減表より(3次関数の増減を参照)、
これより、bを
の範囲で動かすとき、
，
のとり得る値について、
，
･･･⑤が成り立ちます。よって、④より、Vの体積Wのとりうる値の範囲は、
......[答]追記．④，⑤で
となるのは、
かつ
または
のときです。
のときには
，
のときには
です。つまり、直方体が薄くなり、その2辺が、
かつ
(このとき
)，または、
かつ
(このとき
)の長方形薄板に近づくときです。
⑤で
となるのは、
または
のときです。
のとき、a，cにかかわらず、
となります。
のとき、
かつ
となります。
これより、
となるのは、直方体が、辺bの方向に薄くなる(直方体が厚さ0で2辺がa，cの長方形に近づく。
または
のときに長さ1の棒を回転する場合を含む)か長さ1の細長い棒になるときです。
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