東大文系数学'10年[1]
Oを原点とする座標平面上に点A
をとり、
の範囲にあるθ に対して、次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える。
(ii) Cは
の部分にあり、
かつ
である。ただし、△ABCはOを含むものとする。 以下の問(1)，(2)に答えよ。
(1) △OABと△OACの面積が等しいとき、θ の値を求めよ。
(2) θ を
の範囲で動かすとき、△OABと△OACの面積の和の最大値と、そのときの
の値を求めよ。
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解答 難問とは言えませんが、(2)では、正弦・余弦の値が汚くなるので、試験会場ではしっかり見直しさせられる問題です。これでいいのかな？もっと別の技巧でもあるのか？という気にさせられますが、基本に立ち返って考える「勇気」のようなものが必要かも知れません。
(1) △OABの面積
は、 △ABCがOを含むので、頂点Aと辺BCは原点に関して反対側に位置し、
より、△OACの面積
は、 ①，②より、
とすると、
(2) △OABと△OACの面積の和Sは、①，②より、
より、αを、
，
をみたす角として、
，
より、αは、
を満たす角で、
のときに
となりますが、このとき、
であって、このθ は、
を満たしています。
よって、
のとき、Sの最大値：
......[答]
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の部分にあり、
かつ
である。
より、
......[答]
