東大理系数学'11年前期[5]
p，qを2つの正の整数とする。整数a，b，cで条件
，
の形に並べたものを
パターンと呼ぶ。各
パターン
に対して
とおく。
(1) 
パターンのうち、
となるものの個数を求めよ。また、
となる
パターンの個数を求めよ。 以下、
の場合を考える。
(2) sを整数とする。
パターンで
となるものの個数を求めよ。 (3) 
パターンの個数を求めよ。
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解答 
パターンの背景はわかりませんが、要するに
空間内の格子点を数える問題です。問題文に惑わされなければ、誘導がついているので、悩み込むことはないと思います。但し、細部では神経を使います。
整数
の組と、
パターン
とは1対1で対応します。
パターン
の個数は格子点
の個数と一致します。
(1) 
より、
より、
を満たす整数cの個数は
個で、
となる
パターンの個数も
個 ......[答] より、
より、
を満たす整数cの個数は
個で、
となる
パターンの個数も
個 ......[答]
(2) 
のとき、 これより、
を満たす整数cの個数
について、 
･･･①また、
より、
これと、問題文中の条件：
との共有部分を、以下で場合分けして、考えます。(i) 
または 
，即ち、
または 
のとき、 共有部分は存在せず、
パターンで
となるものの個数は0個 ......[答] (ii) 
，即ち、
のとき、 
より、
となるので、共有部分は、
となり、
パターンで
となるものの個数は、①を用いて、
個 ......[答](iii) 
，即ち、
のとき、 
より、
となるので、共有部分は、
となり、
パターンで
となるものの個数は、①を用いて、
個 ......[答]
(3) (2)において、
となる
パターンが存在するのは、(ii)の
の場合と、(iii)の
の場合で、
パターンの個数は、
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より、
に限られます。このとき、
より、
に限られます。このとき、
個 ......[答]