東大理系数学'12年前期[5]
行列
が次の条件(D)を満たすとする。
(D) Aの成分a，b，c，dは整数である。また、平面上の4点
，
，
，
は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。 
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 行列
と
も条件(D)を満たすことを示せ。 (2) 
ならば、AにB，
のどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列
，
，
，
のどれかにできることを示せ。 (3) 
とする。
，
の少なくともどちらか一方は、それを
とすると、 を満たすことを示せ。
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解答 行列が逆行列をもつ(行列式がゼロでない)とき、行列内をベクトル列(あるいは、ベクトル行)の集まりと見なすとき、それらは1次独立です。背景のありそうな問題ですが、解答は容易です。
(1) Aが条件(D)を満たすことから、
(三角形の面積を参照) 
･･･①
s，tを実数として、
とします。
と仮定すると、 このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、
となり、
，
は1次独立で、4点
，
，
，
は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、 となり、条件(D)を満たします。
s，tを実数として
とします。
と仮定すると、 このとき、
となり、①と矛盾が生じます。よって、
となり、
，
は1次独立で、4点
，
，
，
は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、 となり、条件(D)を満たしています。
(2) まず、
と
を求めておきます。 より、
と予測できます。 より、
と予測できます。 よって、帰納的に、
のとき、
a，dは整数なので、
，
であって、
に限られます。 
であれば
，また、
であれば
，とすると、
となります。
よって、
を
，
，
，
のどれかにできます。同様に、
であれば
，また、
であれば
，とすると、
となり、
を
，
，
，
のどれかにできます。
(3) 
，
a，cが同符号であれば、
より、
よって、
，
の少なくともどちらか一方は、それを
とすると、 を満たします。
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より、
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