東大文系数学'13年[1]

東大文系数学'13年[1]

関数

のグラフをC，原点Oを通る傾きtの直線を

とし、Cと

がO以外に共有点をもつとする。Cと

の共有点をO，P，Qとし、

と

の積を

とおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、O，P，Qのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数

の増減を調べ、その極値を求めよ。

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解答　極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C：

　･･･①

：

　･･･②

①，②を連立すると、

　･･･③

または

以外に実数解をもつので、

　･･･④ の判別式：

　(2次方程式の一般論を参照)

∴

　･･･⑤

のときには重解となり、

となります。
⑤の2解をp，qとして、解と係数の関係より、

，

P，Qの座標を

，

として、

，

のとき、④は

を解にもち、③は重解

をもちます。つまり、このとき、

はCに

で接しています。P

，Q

となるので、

となるわけです。

のとき、

とすると、

(複号が±どちらであっても

です)

は

の範囲に極値をもたず、この範囲で

より、

は単調増加です。

のとき、

とすると、

を

で割ると、商が

，余りは

になるので、

ここで、

(

とします)とすると、

より、

(複号同順)

より、

，

合わせて増減表は以下のようになります。

t							3
	×	－	0	＋	0	－	×	＋
	8						0

増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、

のとき極小値

，

のとき極大値

，

のとき極小値0 ......[答]

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