東大理系数学'21年前期[4]
以下の問いに答えよ。
(1) 正の奇数K，Lと正の整数A，Bがを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2) 正の整数a，bがを満たしているとする。このとき、，に対してとなるような正の奇数K，Lが存在することを示せ。
(3) a，bは(2)の通りとし、さらにが2で割り切れるとする。を4で割った余りはを4で割った余りと等しいことを示せ。
(4) を4で割った余りを求めよ。


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解答　腕尽くで解答する、体力がもの言う問題です。

(1) K，Lを4で割った余りが等しいので、mを整数として、とおけます。両辺にAをかけると、
より、
，
右辺は4の倍数ですが、Lは奇数なので、が4の倍数です(合同式を使って書くと、)。つまり、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しくなります。
(2) とを結びつける簡単な関係式も思い浮かばず、方針も見えないので、a，bに簡単な数を代入することから始めます(組み合わせを参照)。，としてみると、，，で確かにとなりますが、何も見えてきません。，とすると、，，分子・分母でかけ算されている数に何かあるな、という気がしますが、まだ見えません。
a，bを少し大きくしてみます。，とすると、，，ここで題意から、の中にが隠れていないか探します。の赤字のところにに並ぶ数字が4をかけられて隠れています。それで、4の倍数を問題にしているのだな、ということに気づきます。
と書いてみると、分子と分母が両方とも奇数になっているところ(黒字)と、両方とも偶数になっているところ(赤またはピンク色)があることに気づきます。よく見ると、数字を連続して並べるので、当然のことですが、奇数が入るところ、偶数が入るところが互い違いに並びます。となる赤字以外のところで偶数が入っているところ(ピンク色)も、
，
となっていて、約分すれば、分母分子とも奇数にできます。，にしてみます。

　(，，)
以外は分子・分母に奇数ばかり並び、これで、問題のカラクリがほぼ見えてきます。a，bに代入する数値をある程度大きくしないと見えてこないことに注意が必要です。を具体的に書くと、分子・分母の4の倍数になるところにが隠れていて、それ以外の分母分子ともに偶数のところは約分すると分母分子ともに奇数にできて、それ以外は全て分母分子ともに奇数です。

　･･･①
　(，･･･，)　･･･②
を上記の①のように個の分数の積の形に書いたとき、4個ごとに現れる分母分子ともに4の倍数のところは4で約分してかけ合わせるとになります。それ以外の分母分子ともに偶数のところは、分母分子とも4で割ると2余る数で、2で約分すると、分母分子ともに奇数になります。残りは最初から分母分子ともに奇数です。
これより、
　･･･③
　･･･④
とすれば、K，Lは正の奇数で、，に対してとなります。
(3) ①の右辺でかけ合わされている分数の分母分子がともに奇数のところ ()は、分子から分母を引くと、
は4の倍数なので、分子を4で割った余りと分母を4で割った余りとは等しくなります。
①の右辺で、4の倍数でない偶数が分子・分母に入るところ ()は、②式において、2で約分して (，つまり、)となりますが、分子から分母を引くと、
は、問題文よりが2で割り切れるので、4の倍数となり、分子を4で割った余りと分母を4で割った余りは等しくなります。よって、②式右辺の以外のところでかけ合わされている全ての分数は、分母分子ともに奇数であって、しかも、分母と分子は4で割った余りが等しくなります。
従って、②式の分母をかけあわせた③のK，②式の分子をかけあわせた④のLについても、KとLは4で割った余りが等しくなります。
(2)より、正の奇数K，Lを用いて、，に対してとなり、KとLは4で割った余りが等しくなるので、(1)より、を4で割った余りと、を4で割った余りとは等しくなります。
(4) ，なので、(3)より、を4で割った余りとを4で割った余りとはとは等しくなります。
，なので、(3)より、を4で割った余りとを4で割った余りとは等しくなります。
7875を4で割ると3余るので、を4で割った余りは3 ......[答]



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