東大理系数学'84年[6]
xy平面において、不等式
の表す領域をDとし、不等式
の表す領域をEとする。このとき、次の条件(＊)を満たす点P
全体の集合を求め、これを図示せよ。
(＊) P
に関してDと対称な領域をUとするとき、 が同時に成り立つ。ただし、
は空集合を表すものとする。
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解答 領域についての条件になっていますが、境界線についての条件として考えればOKです。
右図に、問題文の状況を示します。
は黄色着色部分、
は水色着色部分です。
Dの境界線
上の点を
として、これとP
に関して対称な点を
とします。
と
の中点が
になるので、
が成り立ちます。これより、
，
･･･①
を満たすので、ここに①を代入すると、
∴ 
これより、Uの境界線は、
･･･②
を満たします。②の右辺を
とおきます。
ここで、Dの境界線
とEの境界線
の交点を求めておきます。
両式を連立して、
∴ 
，
交点は
です。
が成り立つ、ということは、Uの境界線②は、この交点
よりも下を通る、ということです。つまり、
より、
∴ 
･･･③
さらに、
が成り立つ、ということは、Uの境界線②が
よりも下を通ることを考慮すると、Dの境界線
とUの境界線②が
において2共有点(1接点の場合を含む)をもつことと同値であり、
さらに、
と②を連立させて得られる2次方程式：
即ち、
が
となる2実数解(重解を含む)をもつことと同値であり、
従って、この左辺を
とおいて、
と同値です(2次方程式の解の配置を参照)。
⇔ ③
かつ 
･･･④
同様に、
が成り立つことも、Uの境界線②が
よりも下を通ることを考慮すると、
と②を連立させてできる2次方程式：
即ち、
が、
となる2実数解(重解を含む)をもつこと同値であり、
従って、この左辺を
とおいて、
かつ 区間の端：
と同値です。
⇔ ③
かつ 
･･･⑤
③ かつ ④ かつ ⑤，より、
図示すると右図黄緑色着色部(太線上を含み白マルと破線上を含まない)。
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，
かつ 
の軸：
かつ 区間の端：
かつ 
の軸：
かつ 
かつ 
かつ 
