東大理系数学'84年[6]
xy平面において、不等式の表す領域をDとし、不等式の表す領域をEとする。このとき、次の条件(＊)を満たす点P全体の集合を求め、これを図示せよ。
(＊)　Pに関してDと対称な領域をUとするとき、
，，
が同時に成り立つ。ただし、は空集合を表すものとする。


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解答　領域についての条件になっていますが、境界線についての条件として考えればOKです。

右図に、問題文の状況を示します。は黄色着色部分、は水色着色部分です。

Dの境界線上の点をとして、これとPに関して対称な点をとします。
との中点がになるので、
，　(内分・外分を参照)
が成り立ちます。これより、
，　･･･①
s，tは、
を満たすので、ここに①を代入すると、
∴
これより、Uの境界線は、
　･･･②
で、Uに属する点はを満たします。②の右辺をとおきます。

ここで、Dの境界線とEの境界線の交点を求めておきます。
両式を連立して、
∴ ，
交点はです。
が成り立つ、ということは、Uの境界線②は、この交点よりも下を通る、ということです。つまり、より、
∴ 　･･･③

さらに、が成り立つ、ということは、Uの境界線②がよりも下を通ることを考慮すると、Dの境界線とUの境界線②がにおいて2共有点(1接点の場合を含む)をもつことと同値であり、
さらに、と②を連立させて得られる2次方程式：
即ち、
がとなる2実数解(重解を含む)をもつことと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、
判別式： かつ の軸： かつ 区間の端：
と同値です(2次方程式の解の配置を参照)。
⇔ ③
より、③のもとで、
かつ 　･･･④

同様に、が成り立つことも、Uの境界線②がよりも下を通ることを考慮すると、と②を連立させてできる2次方程式：
即ち、
が、となる2実数解(重解を含む)をもつこと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、
判別式： かつ の軸：
かつ 区間の端：
と同値です。
⇔ ③
より、③のもとで、
かつ 　･･･⑤

③ かつ ④ かつ ⑤，より、
かつ かつ かつ
図示すると右図黄緑色着色部(太線上を含み白マルと破線上を含まない)。



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