東大文系数学'97年前期[4]
をみたす実数t に対して、xy平面上の点A，Bを
A
，B
と定める。t が
を動くとき、直線ABの通りうる範囲を図示せよ。
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解答 見るからにゴツゴツとそびえ立つ巨岩のような問題に見えますが、やっていくと、典型パターン問題だということがわかってきます。
とにかく、暗礁に乗り上げるまでは基本に忠実にやってみることです。
まず、A，Bのx座標が一致することがあるかどうか調べてみます。
より、A，Bのx座標が一致することはありません。
よって、直線ABの傾きは(直線の方程式を参照)、
直線ABの方程式は、
･･･①
実数tが
の範囲を動くと、直線ABが傾きやy切片を変化させながらxy平面上を動き回るのですが、直線ABの通過範囲は、いろいろと直線を引いてみてもなかなかつかめません。
そこで、x座標を固定して、直線が動くときに、あるx座標のところでy座標がどのような変化をするかを考えることにします。従って、xの方を定数として①をtの関数と見て、y座標の最大・最小を考えることになります。
①の右辺を
とおいて、
とすると、
になりますが、xと0との関係はいろいろ考えられるので、場合分けが必要になります(3次関数の増減を参照)。
(i) 
の場合、
において、
なので、
は減少していて、 
，
より、(ii) 
の場合、xが
の範囲に入るかどうかでも場合分けが必要になります。 ・
のとき、 より、
の増減表は以下のようになります。増減表より最大値は
ですが、最小値は
，
のどちらになるかでさらに場合分けが必要になります(3次関数の最大最小を参照)。 (a) 
のとき、
より、 (b) 
のとき、
より、 
以上をまとめると、直線ABの通過範囲は、
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の場合、
において、
なので、
は増加していて、
