早大理工数学'05年[2]
円周上にm個の点
，
，･･･，
がこの順に配置され、各点
に一つの実数
が与えられている(
)。ただし、
とする。さらに、
は条件
(＊) 各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 
のとき、
の値を求めよ。 (2) 
，
とおくとき、
をa，bで表せ。ただし、
とする。 (3) 条件(＊)をみたし、かつ
となる
が存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。
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解答 6項ごとに繰り返される数列であることを見破ればよい、という問題です。
これらを連立して解くと、
......[答]
(2) 条件(＊)は、以下のように立式できます。
これより、
のときには、 ∴ 
∴ 
(
) ･･･②
②において
として、
②において
として、
......[答]この設問の解答としては、これで終わりですが、(3)のためにもう少し調べます。
，
より、
上記のように、
②において
として、
②において
として、
これで、数列
は、 の6個の数が繰り返されつつ、最後の1組が、ちょうど末尾のところか、あるいは途中で切れるような数列だとわかります。
(3) 数列
が6個の数が繰り返される数列だということは、項数mが6の倍数であれば、
にできそうです。 
(k：自然数)のとき、
となりますが、
例えば、
，
としてみると、1周回ってきた最後の部分では、
であって、条件(＊)は満たされています。
項数mが6の倍数でないとき、
は、
以外であって、a，b，
，
，
のどれかです。
以下、kを0以上の整数だとして、mを6で割った余りで場合分けし、各場合について、①の、 
，
がみたされるようなa，bはどんな数か、調べます。
以上より、条件(＊)をみたし、かつ
となる
が存在するのはmが6の倍数のときに限られることがわかります。
求める必要十分条件は、自然数mが「6の倍数であること」 ......[答]
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，
，
，
，
(
) ･･･①
，
，
，
，
，
，
，
，
のとき、
，
，
より、
のとき、
，
，
より、
のとき、
，
，
より、
のとき、
，
，
より、
のよき、
，
，
より、