早稲田大学理工学部2005年数学入試問題
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[1] 4点O
，A
，B
，C
を頂点とする四面体を考える。ただし、
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
の面積を求めよ。 (2) 
の内接円の中心の座標を求めよ。 (3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。
[解答へ]
[2] 円周上にm個の点
，
，･･･，
がこの順に配置され、各点
に一つの実数
が与えられている(
)。ただし、
とする。さらに、
は条件
(＊) 各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 
のとき、
の値を求めよ。 (2) 
，
とおくとき、
をa，bで表せ。ただし、
とする。 (3) 条件(＊)をみたし、かつ
となる
が存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。 [解答へ]
[3] 袋の中に1からnまでの番号のついたn個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてもとに戻すことをr回行うとき、取り出された玉の番号の最大値をXとする。以下の問に答えよ。
(1) 
に対して、Xがちょうどkとなる確率を求めよ。 (2) 
のとき、Xの期待値を求めよ。 (3) 一般のrに対してXの期待値を
とおくとき、極限値
を求めよ。 [解答へ]
[4] 複素数zが
を満たしながら動くとき、次の式で定まるwについて以下の問に答えよ。
(1) wの虚部の取る値の範囲を求めよ。
(2) wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。(複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする。)
[解答へ]
[5] 媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cとx軸，y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、V，
，
を小さい順に並べよ。ただし、
および
は既知とする。 [解答へ]
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