早大理工数学'05年[1]
4点O
，A
，B
，C
を頂点とする四面体を考える。ただし、
とする。以下の問に答えよ。
(1) 
の面積を求めよ。 (2) 
の内接円の中心の座標を求めよ。 (3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。
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よって、
の面積Sは、 
(2) 
に内接する円は、OA，OB，ABの3辺に接するので、求める円の中心をD，半径をrとすると、DとOA，OB，ABとの距離はいずれもrです。Dの座標は
です。このとき、
の面積は
，
，
の面積の和です。 ∴ 
円の中心の座標は、
......[答]
[別解] DからOA，OB，ABに下ろした垂線の足を、H，I，Jとすると、
です。
，
とおくと、 ①＋②を作り、③を代入すると、
∴ 
(3) 四面体OABCの各面に接する球は、yz平面，zx平面，xy平面のいずれとも接するので、球の中心をE，半径をrとすると、Eとyz平面，zx平面，xy平面との距離はいずれもrです。Eの座標は
です。このとき、四面体OABCの体積の和は、四面体EOAB，四面体EOBC，四面体EOAC，四面体EABCの体積の和です。 四面体OABCの体積は、底面の
の面積が
，高さcの三角錐の体積で、 四面体EOABの体積は、底面の
の面積が
，高さrの三角錐の体積で、 四面体EOBCの体積は、底面の
の面積が
，高さrの三角錐の体積で、 四面体EOACの体積は、底面の
の面積が
，高さrの三角錐の体積で、 四面体EABCの体積は、底面の
の面積が(1)より
，高さrの三角錐の体積で、 よって、
∴ 
球の中心の座標は、
......[答]
(2)を次のように考えることもできます。
xy平面上において、2点A
，B
を通る直線は、
と表せます。abをかけて、 
･･･④④の絶対値記号の内側は負です。なぜなら、
，
なので、点
と原点はともに、直線ABの下側にあって、同じ側にあるからです。よって、 ∴ 
同様にして(3)も次のように考えることができます。
xyz空間において、3点A
，B
，C
を通過する平面πは、
と表せます。abcをかけて、 
，
，
なので、点
と原点が平面πに関して同じ側にあることを考えると、絶対値記号内は負です。よって、∴ 
追記：(2)と(3)は半径を聞けばいいだろうにね！解答が1行に入りきらないので乞了承。
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の面積は
，
，
の面積は、それぞれ、
，
，
，よって、
･･･①，
･･･②，
･･･③
と直線
と平面