早大理工数学'05年[5]
媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cとx軸，y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、V，
，
を小さい順に並べよ。ただし、
および
は既知とする。
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のとき、
，
･･･②
のとき、
，
(微分の公式を参照)
のとき、
，
増減表は以下の通り。また曲線Cのグラフは右図。増減表より、
となるのは、
のときのみで、このとき、
，
，
(媒介変数表示された関数の微分法を参照)より、曲線Cは
においてy軸と接します。
となるのは、
のみで、このとき、
，
，
より、曲線Cは
においてx軸と接します。
よって、座標軸との接点は、
，
......[答]なお、増減表より、
のとき
，
のとき
･･･③第1項は②，第2項は①により置換積分します。
第1項(
)では、
，x：
のときt：
第2項(
)では、
，x：
のときt：
③の第1項は、 さらに、sをtに戻して、
③の第2項は、
∴ 
被積分関数は、
とおくと、
∴ 
......[答]
(3) 
より、
まず、
と
を比較します。
より、
です。
次に、
とVを比較します。 
，
より、∴ 
とVを比較します。 ∴ 
よって、
......[答]
うなってしまう問題ですが、私はこういう入試問題には賛成できません。
恐らく、正答率は限りなく0に近く、正答した受験生は他の問題がほとんできていないでしょう。
合格者の大半がこの問題を途中で捨てていると思いますが、捨て問題にせよ、ということで、こういう問題を出題しているのなら考えものです。
忍耐力などを見たいのなら、場合分けの複雑な問題などを工夫すべきだと考えます。
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のとき、
，
･･･①
)
)
)
)
)
)
)
)
とおくと、
，t：
のときs：
，
，
より、