早大理工数学'07年[4]
nを正の整数とするとき、以下の問に答えよ。
(1) kを正の整数とする。関数
の
における最大値を
とするとき、
および
を求めよ。 (2) 
，
を
において定められた連続関数とする。関数
，
，
の
における最大値をそれぞれ
，
，
とする。このとき0，
，
の大小を ≦ ≦
の形式で答え、その理由をのべよ。
(3) 
を定数、
とし、関数
の
における最大値を
とする。このとき
を求めよ。
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解答 こういう問題は難問に見えてしまうのですが、難問だと思ってしまうと難問です。
(1) 
とすると、
においては、
(
)
のとき、
増減表より、
......[答]また、
(∵ 
，
)∴ 
......[答]
(2) 
において、関数
，
，
が、それぞれ、
，
，
(
，
，
)において、最大になるとすると、 ①＋②より、
･･･④③の不等号の等号は、
のときに成立します。
④の不等号の等号は、
であれば、
のときに成立しますが、それ以外の場合には、必ずしも成立するとは限ないことに注意してください。
④左辺で、
のときを考えると、 
･･･⑤また、関数
は、
のときに、関数値0をとります。従って、その最大値
･･･⑥
⑤，⑥より、
......[答]
(3) 関数
，
の
における最大値を
，
とすると、
，
より、関数
，
の
における最大値は、
，
です。 また、
において、
，
より、
(
)関数
の
における最大値は、
のとき、rです。
関数
の
における最大値
について、(2)の結果より、 
･･･⑦
において、
より、関数：
･･･⑧⑦，⑧より、
(1)より、
のとき、
，
より、
よって、はさみうちの原理より、
......[答]
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･･･①
･･･②
･･･③
における最大値
は、関数
の最大値r以上であって、
