早大教育数学'08年[4]
座標平面上で次のような変換fを考える。
f：原点を中心として正の向きに角θ だけ回転し、y軸について対称移動をし、y軸の正方向に1だけ平行移動する。
点
に変換fをn回繰り返し行って得られる点を
と表す。次の問いに答えよ。
(2) 
ならば、点の列
，
，
，･･･，
，･･･ は、ある直線上に等しい間隔で並ぶことを示せ。 (3) 
とする。すべての点
(
)が1つの直線上に並ぶようなθ の値を求めよ。ただし、
とする。
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解答 ベクトル
を、2行1列の行列として
と書くことにします。
この問題は、論理的にややこしいですが、実際の作業は計算ばかりです。短気を起こさずに忍耐強く取り組んでください。
(1)は、この問題では、たまたま
になるので話が簡単にすみますが、ふつうは2項間漸化式のようにやっていくことになるでしょう。
なお、1次変換を参照してください。
(1) まず、点
に変換fを施すとどうなるか、ということを調べます。 
を原点を中心として正の向きに角θ だけ回転すると、回転を表す行列を
として、に来ます。これをy軸について対称移動すると、x座標の符号が変わり、対称移動を表す行列を
として、 に来ます。さらに、y軸正方向に1だけ平行移動すると、y座標に1を加えて、
に来ます。
点
に対して変換fを行って
に来るとすると、 
･･･①ここで、
，
と置き換えて、2項間漸化式のようにできないか、というアイデアも浮かびますが、
となったときに、
となり、
が存在しないので、うまく行きません(逆行列が存在するような問題なら、行列の累乗を求めることにより、2項間漸化式のように解くことができます)。
ここでは、①を繰り返し用います。 ･･････
･･･②ところで、
より、
(a) mが正の奇数のとき、
(b) mが正の偶数のとき、
そこで、nが奇数か偶数かで場合分けして、
(i) nが奇数のとき、
の中に、奇数、偶数ともに、
個ずつあるので、②より、 ∴ 
......[答] (ii) nが偶数のとき、
の中に、奇数が
個、偶数が
個あるので、②より、 
∴ 
......[答]
･･･③
･･･④③×
－④×
として、nを消去すると、 これは、点
が、直線： 
･･･⑤の上にあることを意味します。また、
より、点の列
，
，
，･･･，
，･･･ は、直線⑤上に、等間隔： で並びます。
(3) (2)において、
または 
，つまり、
においては
のとき、
(
)がどうなるかを調べます。(1)(ii)を用いて、 ・
のとき、
，
となり、
は、直線
上に並びます(このときも、⑤は、
となるので、(2)が成り立っています)。 ・
のとき、
，
で、
はすべて
となります。⑤は直線を表さなくなります。 
だとすると、⑤は、
･･･⑥すべての点
(
)が1つの直線上に並ぶので、少なくとも、
は、⑥上にあります。(1)(i)の結果を用いて、 
，
これを、⑥のx，yに代入すると、
整理して、
∴ 
においては、
より、
が条件をみたすかどうか、確認します。 (i) 
のとき、⑥は、
･･･⑦ nが偶数のときは、(2)より、
が⑦上に位置することはわかっています。nが奇数のとき、(1)(i)より、
，
これを⑦のx，yに代入すると成り立つので、
は⑦上の点です。
従って、すべての点
(
)が1つの直線上に並びます。 (ii) 
のとき、⑥が直線を表さなくなります(実は
は、点列が⑥上に並ぶ「必要条件」ではない)が、 nが偶数のとき、上記より、
はすべて
です。nが奇数のとき、(1)(i)より、
，
となり、すべての点
(
)が、直線
上に並ぶので、条件に適します。 よって、
......[答]注．本当は、“
かつ 
”の場合、つまり、
の場合は、別に検討するべきですが、あたかも必要条件であるかのように出てきてしまうので、条件に適することを確認しておけばOKです。試験場でまとめきれるか、ということはありますが、論理的にきちんと整合した解答が知りたけば、旺文社入試問題正解を見て頂くとよいと思います。
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，
を
，
を用いて表せ。
として、
，
より、
，
として、
