早大理工数学'09年[4]
以下の問いに答えよ。
(1) 半径rの円に内接し、1つの対角線の長さがlであるような四角形の面積の最大値をrとlで表せ。
(2) 半径rの円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ。
(3) 空間内の点Oを頂点とし、四角形ABCDを底面とする四角錐(すい)がを満たしているとする。そのような四角錐の体積の最大値を求めよ。


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解答　題意がとれれば、結論への道筋は見えてきますが、論述するとなると厄介かも知れません。

(1) 半径rの円に内接する四角形の4頂点をA，B，C，Dとし、長さがlである対角線をBD，とします。です。
B，Dを端点とする2つの円弧のうち、Aがいる円弧を，Cがいる円弧をとします。
同一弧の上に立つ円周角は等しいので、Aが上のB，D以外のどこにいてもであり、Cが上のB，D以外のどこにいてもです。
正弦定理より、
∴ 　･･･①
AからBDに下ろした垂線の足をH，CからBDに下ろした垂線の足をKとすると、
三角形BADの面積は、
三角形BCDの面積は、
Aが上を動くとき、AHは、AHがを2等分するときに最大で、このときも最大になります。このとき、であり、
同様に、Cが上を動くとき、は、CKがを2等分するときに最大になります。このとき、であり、
従って、四角形ABCDの面積の最大値は、

......[答]　(∵ ①)
別解．上記で、AH，CKが最大になるときには、HとKは同一の点で、ACは直径になります。このときの四角形ABCDの面積は、

(2) (等号は、四角形ABCDが正方形のときに成立)なので、(1)の結果より、
半径rの円に内接する四角形の面積の最大値は、 ......[答]

(3) なので、A，B，C，Dは、Oを中心とする半径1の球面上の点です。四角形ABCDを含む平面でこの球を切ると、切り口は円になりますが、A，B，C，Dはこの円の周上に位置するので、四角形ABCDは円に内接する四角形です。切り口の円の半径をrとすれば、であって、この範囲の1つのrの値に対して、(2)より、底面の四角形ABCDの面積の最大値は，球の中心Oと四角形ABCDとの距離は三平方の定理よりです。これが、四角錐の高さになります。
よって、底面積を最大とする四角錐の体積は、

()とおくと、
r0

1

＋0－
00

増減表(関数の増減を参照)より、の最大値：
体積の最大値： ......[答]


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