早大理工数学'12年[2]
初項を
とし、以下の漸化式で定まる数列
を考える。
(
)
はxを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
(1) 
とする。このとき、
となる最小のnを求めよ。 (2) mを2以上の整数とし、
とする。このとき、
をみたすjに対して
，
をjとmで表せ。 (3) mを2以上の整数、pを
をみたす整数とし、
とする。このとき、
となるkを求めよ。さらに、
となる最小のnを求めよ。
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解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。
などとして、
，
，･･･ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。
(1) 
のとき、 よって、
となる最小のnは、
......[答]
(2) 
のとき、 
(
)，
より、
，
∴ 
から
，
を求めるときと同様にして、
，
これより、
と予測できます。以下、数学的帰納法により、予測が成立することを示します。 (Ⅰ) 
のとき、 
，
より、予測は成り立ちます。
(Ⅱ) 
(
)のとき、予測が成り立つと仮定すると、
，
となります。 よって、
(
)のときも予測は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、予測は、
を満たすjについて成立します。よって、
を満たすjについて 
......[答]
(3) (2)までと同様にして数列の各項を計算してみると、
より、
･･･①となり、
としたときの
と比べると、
同士の差pが、
同士の差では
になり、1小さくなります。このまま、
，･･･，
と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、
としたときの
が、
としたときの
に近づいて行きそうです。①と同様にして、実際、 ・・・・・・
･･･②となるので、
となったとき、 
･･･③となります。よって、
となるkは、
......[答]
以後の項については、(2)と同様に、
とした場合を考えると、 となります。従って、
のときには、③より、
として、 
･･･④
となります。但し、数列
の各項は、第n項で
になってしまうと、 となり、
となる全ての第
項は
となってしまい、④が意味を持たなくなります。④が意味を持つのは、
，つまり、(
)
のときです。
においては、
，
ですが、
のとき、 となります。これより、
となる最小のnは、
......[答] 注．②で、
とすると、 
∴ 
となり、
以外に、
という場合が出てくるのですが、
なので、
(等号は、
のとき)となり、
は、
という条件を満たしません。
また、④で、
とすると、
の他に、
という場合が出てきますが、やはり、
という条件を満たしません。
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(
，
)より、
(
，
)のとき、
より、
