早大理工数学'21年[4]
n，kを2以上の自然数とする。n個の箱の中にk個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の個数を数える。その最大値と最小値の差が
となる確率を
(
)とする。このとき、以下の問に答えよ。
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解答 計算は大したことはありませんが、少々思い悩むところがある問題です。n部屋にk人を入れる部屋割りの問題や、立候補者n人、投票者k人の選挙の投票パターンの問題と同じように考えます(確率を参照)。箱、玉には区別がないのですが、確率を考える場合は、区別できるものとして場合の数を数えることに注意してください。
k個の玉の1個ごとにどの箱に入るか箱の選び方がn通りあり、玉の入れ方は全部で
通りあり(重複順列を参照)、その各1通りは同様に確からしい。 ･･･(＊)
(1) (＊)において、
，
として、全事象は
通りあります。箱を
，
とします。 最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に3個の玉が入り、もう1つの箱に玉が入らない場合で、玉が3個とも
に入る場合と、3個とも
に入る場合と2通りあり、
......[答]最大値と最小値の差が2になることはなく、
......[答]最大値と最小値の差が1になるのは、1つの箱に2個入り、もう1つの箱に1個入る場合で、
に2個、
に1個入るとき、3個の玉のどれが
に入るかが3通りあり、
に1個、
に2個入るときも3通りで、
......[答]最大値と最小値の差が0，つまり2つの箱に同数ずつ入ることはなく、
......[答] (2) (＊)において、
として、全事象は
通りあります。n個の箱を
，
，･･･，
とします。 最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に玉が2個入り、他の箱には玉が入らない場合です。箱を
，
，･･･，
として、2個とも
，2個とも
，･･･，2個とも
，のn通りあり、
......[答]最大値と最小値の差が1になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、
で箱が2個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、
と
で分けて考える必要があります。
のとき、n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが
通り、仮に
と
を選んだとして、2個の玉のどちらを
に入れるかが2通りあり、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0，つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、1個の玉が
に入るか、
に入るか2通りあり、全事象は
通りで、
......[答] (3) (＊)において、
として、全事象は
通りあります。n個の箱を
，
，･･･，
とします。 最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に玉が3個入り、他の箱には玉が入らない場合です。3個とも
，3個とも
，･･･，3個とも
，のn通りあり、
......[答]最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に2個の玉が入り、それ以外のどれか1つの箱に1個の玉が入り，他の箱には玉が入らない場合です。n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが
通り、仮に
と
を選んだとして、2個の玉を入れるのが
か
かで2通り、3個の玉のうち、1個だけ入れる箱にどの1個を入れるかが3通りあり、
......[答]最大値と最小値の差が1になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、
で箱が3個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、
と
で分けて考える必要があります。
のとき、n個の箱から玉が入る3個を選び、3個の箱のどれに3個の玉のどの玉を入れるかが
通りあり、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0，つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、
......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、
，
，
にどの玉が入るかが
通りあり、全事象は
通りで、
......[答]
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