早大理工数学'26年[2]
kを自然数とする。方程式
を満たす自然数の組
を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。
(1) 自然数解
が存在するならば、
であることを示せ。 (2) それぞれのkに対して、自然数解が少なくとも1つ存在し、その個数は
より小さいことを示せ。 (3) 
のとき、自然数解をすべて求めよ。
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解答 2重根号を外す公式：
(複号同順)をネタにした整数の問題です。2乗するときに、2乗するものの正負の確認を忘れると行き詰ります。
･･･①
･･･②
(1) ここで左辺は0以上なので
，即ち、自然数解
が存在するとき、
より
･･･③ さらに両辺を2乗すると、
をかけて、
･･･④これより、
･･･⑤
③，⑤より、自然数解
が存在するならば、
よって、題意は示されました。
∴ 
･･･⑥
また④において、n，
は自然数なので
も自然数であり、
は
の約数であって、
･･･⑦
⑥，⑦より、
･･･⑧
(2) (1)(＊)より、
は
の約数ですが、
なので、⑧を満たす約数として、
があります。このとき④より、 このnは、(1)の
を満たしています。自然数mは
となりますが、 
(複号同順)①左辺に代入すると、
となり、①を満たすので、それぞれのkに対して、自然数解
が1つ存在します。(1)(＊)より、
は自然数です。⑧より
，
，よって、
∴ 
，
･･･⑨
は有理数ですが、自然数でない有理数で、2乗が平方数でない自然数だとすると、
が無理数となり矛盾するので、
も自然数です。それぞれのkに対して、⑨を満たす自然数は
個未満で、⑨を満たすmも
個未満であり、mが決まれば④によりnも1通りに決まるので、自然数解
の個数も
よりも小さくなります。
(3) 
のとき、④は
･･･⑩ ⑨は
となります。これを満たす自然数
は、
なので
です。このうちmが自然数になるのは、
のとき、⑩より、
のとき、⑩より、
のとき、⑩より、
(1)の
は、
となりますが、上記3通りはこれを満たしています。
よって、自然数解は、
，
，
......[答]
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各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
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より、
，また、③と④より
，
