数列演習'08年[20]
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(3項間漸化式) 数列
が
をみたすとき、次の問いに答えよ。
(1) xの2次式
で、
をみたすものを求めよ。 (2) 
とおくとき、数列
の一般項を求めよ。 (3) 数列
の一般項を求めよ。 (4) 
のとき、
を数学的帰納法で示せ。 (5) 
を求めよ。 (高知大'08)
解答 (4)は数学的帰納法を参照してください。
，
，
･･･①
(1) 
とおく。 
･･･②となるために、係数を比較して、
(2) 
とおくと、
①に代入すると、
･･･③②で
として、 これより③は、
･･･④ (3項間漸化式を参照)④の特性方程式：
より、
これより、
④ ⇔ 
，
より、
は、初項
，公比3の等比数列。
∴ 
･･･⑤
また、
④ ⇔ 
は、初項
，公比2の等比数列。
∴ 
･･･⑥
⑤－⑥より、
......[答]
(3) 
......[答]
(4) (Ⅰ) 
のとき、
，
，
より、
が成り立ちます。 (Ⅱ) 
のとき、
･･･⑦ が成り立つと仮定します。 ⑦の各辺に
を加えると、 ∴ 
･･･⑩
⑧，⑨，⑩より、
よって、
のときにも成り立ちます。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
のとき、
が成り立ちます。
(5) (4)の結果により、
より、 よって、
のとき、 ∴ 
.......[答]
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，
，
，
，
，
，
......[答]
･･･⑧
(
)より、
･･･⑨
(∵ ⑦)
より、