誘電体がある場合のガウスの法則
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電気を通さない物質を不導体(絶縁体)と言います。ほとんどの不導体の分子(あるいは原子)には電気的に偏りがあって、電気双極子として振る舞います。不導体を電気双極子の集団と見るとき誘電体と言います。
正電荷を帯電させた極板(正極板)と負電荷を帯電させた極板(負極板)の間に誘電体を置くと、静電誘導により、誘電体の正極板に面している側に負電荷が現れ、誘電体の負極板に面している側に正電荷が現れます。このとき、誘電体の中の電気双極子の一つ一つが、正極板側に負電荷、負極板側に正電荷を向けるのです。この現象を誘電分極と言います。
電気双極子一つの電気双極子モーメントを
とします。誘電体の中に単位体積当たりN個の電気双極子があるとして、誘電体内の電気双極子モーメントの密度、
を分極ベクトルと言います。
大きさpの電気双極子モーメントをもつ電気双極子が位置
(
，z軸と
のなす角をθ とする)につくる電界のr方向成分
，θ 方向成分
は、
，
の方向(z軸、つまり双極子モーメントの方向)、
の方向を考えると、
，
より、電界の方向と双極子モーメントの方向は一致します。特殊な物質を除いて、誘電体に電界
をかけると、分極ベクトル
は電界
と同じ向きとなり、
と書けます。比例定数
を電気感受率と言います。
電気双極子モーメントの単位は
，分極ベクトルはこれに密度をかけたもので単位は、
(電束密度と同じ単位)，よって、電気感受率の単位は、
です(真空の誘電率と同じ単位)。
右図に誘電体Kを入れていない場合と、入れた場合について、電気力線の状況を示します。両極板を孤立させた状態に置くと、極板の電荷に違いはありません。極板間に誘電体Kを入れると、分極の分だけ誘電体K内では電気力線が減少し、電界も弱くなります。
誘電体のないときの元々の電界が
，電束密度が
だとします(電束密度については、ガウスの法則の一般化を参照)。
誘電体Kを入れたとき図のように、誘電体K内部では、分極の分だけ電気力線の本数が減少し電界が弱められて、
になったとします。誘電体K内の分極は
となりますが、極板の電荷には変化がなく、電束密度は
のまま(電束＝電荷です)です。この電束密度
は、分極
と、仮に電界
が真空中にあったとしてできる電束密度
の和になります。よって、
誘電体K内の電束密度は、電気力線による分と、分極による分を合わせて、この
を電束密度とします。
として、
となります。このεを(誘電体Kの)誘電率と言います。誘電体の誘電率εは、
より、真空の誘電率
と比較して、
となります。
真空中において、閉曲面上の各点で電界
が一様でかつ曲面の接平面に垂直である場合には、閉曲面の面積をSとして、
が成立しますが、誘電率εの誘電体が存在しているときは、
という形になります。
また、
を比誘電率と言います。誘電体がある場合の電界
と、ない場合の電界
を比べると、
より、
･･･①
の誘電体を極板間に入れることにより、極板間の電界は
になります。
空間中に電荷が密度ρで連続的に分布しているとき、電界
について、
が成立しますが、誘電率εの誘電体中では、電界は①より、
として、
となります。
なので、
を使えば、誘電体の中でも、真空中でも、
という形になります。これらは数学的にはPoisson方程式と呼ばれます。
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