中大理工物理'05年[2]

中大理工物理'05年[2]

次の文章の空欄にあてはまる式、グラフ、語句または文章を、それぞれ記しなさい。

無重力の宇宙空間で、図のような細い管でできた半径Rの円形のリングをリングの直径方向を回転軸にして一定の角速度Ωで回転させる。管の内壁は滑らかで摩擦が無視できるとして、管内にある質量mの質点Pの運動を調べよう。
これを調べるには、静止した観測者から質点Pを眺める方法とリングと一緒に回転している観測者から見る方法が考えられる。リングと一緒に回転している観測者から眺めると、質点Pの回転運動は観測されず、かわりに遠心力と呼ばれる見かけの力が現れる。すなわち、宇宙空間でも管内にある物体には、あたかも重力が働いているかのように力が作用する。物体が受けるこの人工重力(遠心力)は、回転軸と物体の距離をhとすると、

の大きさである。一方、静止している観測者から見ると、見かけの力は消える。そのかわり、質点Pの回転運動が観測される。
これら2つの見方のどちらを使うのがよいかは一概には言えない。むしろ、何が知りたいかによって、見方を変えるとよい。そこで、はじめにリングと一緒に回転している観測者から質点Pを眺めることにしよう。この見方で考えると、質点Pが図のように回転軸からθ の位置にいるとき、中心OとPを結ぶ方向(y軸)には、力のつり合いが成り立つことになる。管の内壁からの垂直抗力をNとすると、つり合いの式は重力がないのですこし簡単になって、 (1)

と書ける。一方、リングに沿った方向(x軸)の見かけの力Fは、θ が増加する方向を正として、

(2) である。Fのθ 依存性を区間

で図示すると (3) のようになるから、リングに沿った方向には、

(4) の位置に向かって質点Pを動かす力が働くことがわかる。
この力の性質をもう少し詳細に調べるために、

の場合を考える。ここで、ϕは充分に小さい(

)とする。

なら、

および

の近似式が成り立つ。Fをϕ の1乗までの項で表すと、

(5) である。

は

の位置から測った変位であるから、リングに沿った方向の運動は単振動と考えてよい。したがって、この運動は周期運動で、その周期Tは

(6) となることがわかる。
初期時刻

でPの位置が

(

)，リングに沿った方向の速度vが

であるとする。リングに沿った方向の運動が単振動であることを使うと、時刻

でのvは容易に求まり、

を使って、

(7) と表すことができる。
このように、リングと一緒に回転している観測者から見る方法で考えると、質点Pの運動の様子が簡単にわかる。では、質点Pの力学的エネルギーはどのようになるのであろうか。リングと一緒に回転している観測者から見たのでは、この問題はわかりにくい。そこで、静止した観測者の立場から質点Pの運動を見ることにしよう。この見方では、時刻tでの力学的エネルギー