慣性力 関連問題
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2つの座標系M，Nがあって、質量mの物体Pが座標系Mにおいて、力
を受けて加速度
で運動していたとすると、
運動方程式：
･･･①
座標系Mに対して、座標系Nは物体Pとともに運動しているとすると、座標系N上では物体Pは静止して観測されるから、力のつり合いが成立するはずである。力
は相変わらず働くから、①と矛盾しない式を立てるためには、
力のつり合い：
･･･②
となる必要がある。この式の中の、
を慣性力と言う。つまり、加速度
で運動する座標系上では、加速度と逆向きの見かけの力
を感じる。
一般に、座標系Mにおいて、質量mの物体が力
を受けて加速度
で運動していたとすると、座標系Mにおいて、
運動方程式：
が成立する。座標系Mに対して加速度
で動いている座標系N上における物体の加速度を
とすると、運動方程式は、
になる。
力のつり合いが成立しているとき、物体が等速度運動するか静止を続ける座標系(つまり、慣性の法則が成り立つ座標系)を慣性系と言う。それに対して、慣性力を付け加えなければ、慣性の法則が成り立たない座標系を非慣性系と言う。慣性系に対して等速度運動している座標系は慣性系である。
[例1] 自由落下している宇宙船(加速度
)内では、無重力状態になる。質量mの物体が宇宙船内にあるとして、重力
以外に、慣性力
も入れて、力のつり合いの式は、
となる。 [例2] 加速度aで上昇しているエレベータ内では、質量mの物体に鉛直下向きの重力
の他に、鉛直下向きの慣性力
が働き、エレベータの床から受ける垂直抗力をNとするつ、この物体に働く力のつり合いは、 となり、
となります。地面に置かれた物体に働く重力
と比べると、
となったように見えます。この
を見かけの重力と言います。 [例3] 傾角θ の斜面を有する質量Mの台が滑らかな床の上に置かれていて、斜面上から質量mの物体をすべり落とす。物体と斜面の間には摩擦がないとする。
斜面上で見たときの物体の加速度の大きさをa，台の床に対する加速度の大きさをAとする。斜面上で見ると、物体には台の運動と逆向きに大きさ
の慣性力が働く。斜面が物体に及ぼす垂直抗力をNとして、
斜面上で見たときの、斜面に沿う方向の物体の運動方程式： 
･･･①斜面上で見たときの、斜面に垂直な方向の力のつりあい：
･･･②床面で見たときの、台の水平方向の運動方程式：
･･･③②より、
③に代入すると、
整理して、
∴ 
①に代入して、 ∴ 
[例4] 静止した部屋の天井から長さl のひもに吊るされた質量mのおもりがする単振動の周期
と比べて、加速度aで水平方向に運動する電車内で天井から長さl のひもに吊るされたおもりがする単振動の周期
は、おもりに、鉛直下向きの重力
に加えて、水平方向に慣性力
(加速度aと逆向きに)が働くので、見かけの重力加速度
が、三平方の定理により、
となり、
として、
慣性系においては、運動エネルギーと位置エネルギー和は、力学的エネルギー保存則により保存されます。これを非慣性系で考える場合にはどのようになるでしょうか(非慣性系においては、力学的エネルギー保存は考えない、と聞いている方もいるかも知れません)？
質量Mの物体とその中で動く質量mの物体からなる系を考えます。物体mの大きさは考えません。Mには外力
が働き、Mとmの間には内力
が働き、Mとmの双方に保存力
，
が働くとします。
がバネの弾性力のような保存力であるという場合もあります。
M，mの加速度を
，
，M，mの速度を
，
とします。
外部から見たMの運動方程式は、
･･･④
外部から見たmの運動方程式は、
･･･⑤
時刻
から時刻
の間に、力
がMに対してする仕事Wは、
④より、
，これより、
･･･⑥
は、
，
(合成関数の微分法を参照)より、
は、
から
の間にMが得た運動エネルギーの増分です。
は、保存力
に逆らう外力
がMにした仕事で、保存力
によるMの位置エネルギーの増分
です。
残る
について、細かく調べてみます。
物体Mから物体mの運動を見て、物体mの相対加速度を
，相対速度を
とします。
，
･･･⑦
，これと⑦を用いると、
このうち第1項、第2項の積分は、
，
より、第3項の積分を入れて、
⑧の第4項の積分は、⑦を用いて、
は、
をかけて積分しているので、外部から見たときの保存力
に逆らう外力
のした仕事、つまり、外部から見た時の保存力
による位置エネルギーの増分
です。
は、
をかけて積分しているので、物体Mから見たときの保存力
による位置エネルギーの増分
です。
結局W，即ち⑥は、
･･･⑨
がMに対してする仕事は、Mの運動エネルギーの増分
，外部から見たmの運動エネルギーの増分
と、外部から見たM，mの位置エネルギーの増分
，
の総和になります。つまり、
･･･⑩
･･･⑪
さて、⑤式に、⑦の
より
を代入すると、
･･･⑫
は物体Mの加速度と逆向きの慣性力です。物体Mから見て、物体Mの運動エネルギーはありません。物体Mから見て、物体mの運動エネルギーの増分は、
です。
物体Mから見た物体mの位置エネルギーの増分は、
です。
物体Mから見て、慣性力のした仕事は、
です。
すると、物体Mから見た力学的エネルギー保存は、
となりますが、⑪式に一致します。これは、非慣性系において、慣性力の仕事を考慮に入れて力学的エネルギー保存を考えれば、基準系における力学的エネルギー保存と矛盾しないことを意味しています。
非慣性系において、慣性力を考慮に入れて力学的エネルギー保存則を適用できる例を以下のリンク先で示します。
非慣性系における力学的エネルギー保存を参照してください。
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