岐阜大物理'08年[1]
次の文を読み、以下の問いに答えよ。
図のように、水平な床に質量M[kg]の三角柱を横に置く。水平面とθ の角をなす三角柱の斜面上を、質量m[kg]の小さな物体(小物体)がすべり落ちる運動について考える。ここで、すべて摩擦を無視できるものとする。また、重力加速度の大きさをg
とする。
水平な床に対して動かないx-y座標系を図のようにとり、原点をPとする。最初、斜面はx-y座標系のx軸に接していた。その後、小物体を点Pにおいて三角柱の斜面上に静かに放したところ、小物体が三角柱の斜面を垂直に押す力(この力をN[N]とする)により、三角柱は水平方向に加速度A
で動き始めた。三角柱の運動方程式は、
MA＝ ア
となる。次に小物体の運動方程式を、x-y座標系において考える。小物体のx方向についての運動方程式は、
となり、y方向においては、
＝
－ イ 
および
とした。小物体が常に三角柱に接していることは、小物体のy方向の加速度が三角柱のそれと等しいことを意味している。すなわち、
＝A× ウ 問1 文中の ア ～ ウ にあてはまる適当な記号または数式を答えよ。
問2 NおよびAを求めよ。
点Pから床に落とした垂線の足をHとする。小物体が斜面上をすべり落ち床に到達した。到達地点をQとし、線分QHの長さを求めることにする。そのために、まず加速度
および
を水平方向と鉛直方向の成分に分解する。図に示すように水平方向および鉛直方向に、それぞれu軸およびv軸をとった。加速度の水平成分と鉛直成分を、それぞれ
および
とすれば、
と表される。
問3 文中の エ ～ キ にあてはまる適当な数式を答えよ。
問4 
と
を、M，m，gおよびθ を用いて表せ。 問5 小物体は、
と
が時間に依存しない等加速度運動を行う。このことを利用し、線分PHをh[m]として線分QHを求めよ。
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解答 小物体が斜面上を滑り落ちるという設定はよく見かけますが、斜面が動いてしまうとどうなるか、という問題です。問題文の誘導は必ずしも解きやすい流れではないので、別解にも注目してください。
問1(ア) 三角柱が受ける力は、小物体から受ける垂直抗力Nで、この水平成分は
･･･①
......[答](イ) 系の外部から見て、小物体に働く力は三角柱から受ける垂直抗力N (y軸負方向)、重力
(鉛直下向き)小物体のx方向の運動方程式： 
･･･②小物体のy方向の運動方程式：
･･･③N ......[答]
(ウ) 小物体が常に三角柱に接しているので、小物体の加速度のy成分は三角柱の加速度のy成分に等しく、右図より、
･･･④
......[答]
問2 ①より、
･･･⑤ これと④を③に代入し、
⑤より、
[N] ......[答] 
問3 右図より、
･･･⑥ 
･･･⑦(エ) 
......[答]
(オ) 
......[答]
(カ) 
......[答]
(キ) 
......[答]
問4 ②，④より、
，
⑥，⑦に代入し、
......[答]
......[答]
問5 小物体がP→Qに要する時間をtとすると、
，
∴ 
[m] ......[答]
別解 問1，問2については、小物体の運動を三角柱上から見て慣性力
(水平方向左向き)を考えることもできます。論述式の問題では、なかなか④が思いつけないので、慣性力を考える方が安全だと思います。 
･･･⑧系の外部から見て、三角柱の運動方程式：
･･･①①より、
⑧に代入すると、 ∴ 
[N]，
問3、問4、問5については、QHを求めるだけなのであれば、この問題の誘導に沿って考えるよりも、重心を考える方が簡単です。
水平方向には系の外部から外力が働いていないので、小物体＋三角柱の重心は等速度運動するのですが、最初静止しているので、重心はずっと静止しているままになります。
最初の重心の位置を0として、小物体がQに到達するとき、小物体は左にQHだけ動き、三角柱は右に
だけ動きます。このときの重心の位置について、 ∴ 
[m]
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＝
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