東京医科歯科大物理'10年[2]
金属導線中の電子の運動について考えてみよう。
右図のような半径r，長さl の円筒状の導線の両端A，B間に電圧Vを加える。ただし、Ａの電位よりBの電位の方が高いものとする。また、電子の質量をm，電子の電荷を
(
)，導線の抵抗率をρ，導線の単位体積中の自由電子の数をn，円周率をπとする。
以下の各問いに答えよ。
問1 この導線の電気抵抗Rをr，l，V，m，e，ρ，n、πのうちの必要なものを用いて表せ。
問2 この導線中に生じている電場の大きさEをr，l，V，m，e，ρ，n、πのうち必要なものを用いて表せ。また、電場の向きはA→BとB→Aのどちらであるか答えよ。
自由電子は電場の存在下では平均するとAB方向に運動しているので、以下では一次元の運動として考える。また、導線中を移動する自由電子には速さに比例する抵抗力が働くものとし、比例定数をkとする。
問3 自由電子の運動の向きは、A→BとB→Aのどちらであるか答えよ。
問4 加速度をa，速さをvとして、自由電子の運動方程式を求めよ。ただし、問3で求めた電子の運動の向きを正とする。
問5 vが小さいとき、電子は問3の向きに加速度運動しているが、vがある大きさに達すると等速度運動をするようになる。そのときのvの大きさ
をr，l，V，m，e，n，k，πのうちの必要なものを用いて表せ。 問6 定常電流では、自由電子が導線中を平均して
で働いているとして、導線を流れる電流の大きさIをr，l，V，m，e，n，k，πのうちの必要なものを用いて表せ。 問7 導線の抵抗率ρをr，l，m，e，n，k，πのうちの必要なものを用いて表せ。
抵抗力に現れる比例定数kの意味について、自由電子と金属原子(陽イオン)の衝突から考えてみよう。
自由電子の運動について、定常電流ではつぎのように考えてよいだろう。
(1) 自由電子は、熱振動している金属原子と衝突すると、それまでに電場から得たエネルギーを全て失う。しかし、電場から力を受けているので、再び問3の向きに動きだす。
(2) それぞれの自由電子が金属原子と衝突する時刻や、衝突後つぎの金属原子と衝突するまでにかかる時間は、さまざまである。ここでは、長時間での平均を考え、ある自由電子が
で速さが0であり、時間T毎(ごと)に衝突を繰り返すとする。
問8 自由電子の平均の速さ
をr，l，V，m，e，n，T，πのうちの必要なものを用いて表せ。 問9 一つの自由電子の運動エネルギーの時間変化の様子をグラフに示せ。
問10 kをmとTを用いて表せ。
問11 一般に金属導線の抵抗率は、温度上昇とともにどのように変化するか。その理由を問7，問10の結果も考慮に入れて説明せよ。
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解答 抵抗モデルに関する基本問題です。電流・オームの法則を参照してください。
問1 導線の電気抵抗は、導線の断面積が
であることから、 
......[答]
問2 導線内には、電位の高い方から低い方に向かって一様な電場が生じていて、電場の大きさは、
......[答] 電場の向きは、B→A ......[答]
問3 自由電子は負電荷を持っているので、電場と逆向きの力を受け、運動の向きは、A→B ......[答]
問4 自由電子が受ける力は、大きさ
の電気力(向きはA→B)、これと逆向きの抵抗力で、抵抗力は向きも含めて
，自由電子の加速度をaとして運動方程式は、 
......[答]
問5 問4の運動方程式において、最初速さvが
に近いうちは
ですが、vが大きくなるに従ってaは減少して0に近づいてきます。
になってしまうと、自由電子は等速度運動するようになります。このときの速さを
として、 ∴ 
......[答]
問6 導線を流れる電流の大きさは、導線の断面積が
であることから、 
......[答]
抵抗率ρは、
......[答]
問8 抵抗力を考えないときの自由電子の運動方程式は、問4の運動方程式から
の項をとって、 ∴ 
時間Tの間、自由電子は等加速度運動を続けるのですが、時間t (
)経過後の自由電子の速度vは、 
･･･①自由電子の平均の速さ
は、
の中間
における速度と考えられ、 
......[答]
問9 時間t (
)経過後の自由電子の運動エネルギーは、①より、
以降は、これを繰り返すことになります。グラフは右図実線。
問10 問5の等速度運動時の速さ
が、問8の平均の速さ
に一致すると考えます。 ∴ 
......[答]
問11 問7，問10の結果より、導線の抵抗率は、
･･･②となり、時間Tに依存します。
金属原子は隣接する原子と結合していて自由に動き回ることができないのですが各原子ごとに熱振動しています。金属原子は、自由電子と衝突すると自由電子からエネルギーをもらって熱振動のエネルギーが次第に大きくなってきます。結果的に、金属の温度が上昇してジュール熱を発生するのですが、温度が上昇して熱振動が激しくなると、金属原子が自由電子と衝突しやすくなり、自由電子が衝突後に次の金属原子と衝突するまでにかかる時間Tがだんだん短くなります。すると、②より抵抗率ρは大きくなります。
金属導線中を電流が流れると、金属導線の温度が上昇し、金属原子の熱振動が激しくなり、時間Tが短くなる。その結果、金属導線の抵抗率は温度上昇とともに大きくなる。 ......[答]
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