山口大物理'10年[2]
図1のようにx軸上の点
と
に正の点電荷
が置かれている。これらの点電荷が作る電場について、以下の問いに答えよ。ただし、
は正の定数とし、真空の誘電率を
とする。
問1 x軸上に正の点電荷
を置いた。この点電荷に働く力の向きは点電荷を置く位置によって異なる。点電荷qにx軸の正の向きに力が働く区間と、x軸の負の向きに力が働く区間、また、働く力が0である点をそれぞれ答えよ。 ただし、点電荷Qのあるx軸上の点
と
は除いて答えよ。 問2 x軸上の点
に置いた点電荷qに働く力の大きさは、それをx軸上の点
に置いた場合に働く力の大きさの何倍であるかを答えよ。 問3 z軸上の点
における電場の大きさとその方向を答えよ。 問4 yz平面内の点
における電場の方向がy軸となす角度を答えよ。 
問5 図2のグラフにz軸上の電場のz成分
が描かれている。この図を参考にして、点A
と点B
間の電位差と、点B
と点C
間の電位差はどちらが大きいか。理由を述べて答えよ。問6 原点O，点A，点B，点Cの電位の高さの順をO，A，B，Cの記号で高い方から答えよ。
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解答 電位・電場の定義の理解を問う問題です(電界を参照)。問7を原問題から変更しました。また、問題文では
が与えられているのですが、最終解答には出てこないので、以下では、
を用いて書くことにします。
に置かれた点電荷を
，
に置かれた点電荷を
とします。
点電荷qを
に置くとき、点電荷qが
，
から受ける力の向きはいずれもx軸負方向です。従って、点電荷qに働く力の向きはx軸負方向です。点電荷qを
に置くとき、点電荷qが
，
から受ける力の向きはいずれもx軸正方向です。従って、点電荷qに働く力の向きはx軸正方向です。点電荷qを
に置くとき、点電荷qは、点電荷
からx軸正方向に力を受け、点電荷
からx軸負方向に力を受けます。点電荷qを
に置くとき、点電荷
，
から等距離にあり、それぞれから受ける力は大きさが同じで向きは逆なので、点電荷qに働く力は0です。点電荷qを
に置くとき、点電荷qには点電荷
の方が近いので、点電荷
から受ける力の方が大きくなり、点電荷qに働く力の向きはx軸正方向になります。点電荷qを
に置くとき、点電荷qには点電荷
の方が近いので、点電荷
から受ける力の方が大きくなり、点電荷qに働く力の向きはx軸負方向になります。
以上より、点電荷qにx軸の正の向きに力が働く区間は、
，
......[答]
x軸の負の向きに力が働く区間は、
，
......[答]働く力が0である点は、
......[答] 追記．位置xに置かれた点電荷qが、点電荷
から受ける力の大きさ
は、 点電荷
から受ける力の大きさ
は、 点電荷qが
に位置するとき、
，
ともにx軸負方向なので、合力Fは、 点電荷qが
に位置するとき、
はx軸正方向、
はx軸負方向なので、合力Fは、 点電荷qが
に位置するとき、
，
ともにx軸正方向なので、合力Fは、 ここからも答えられます。
問2 
と
との距離は
なので、点電荷qが、点電荷
から受ける力の大きさは、 
と
との距離はaなので、点電荷
から受ける力の大きさは、どちらも向きはx軸正方向で、合力
は、 
と
との距離は
なので、点電荷qが、点電荷
から受ける力の大きさは
と
との距離は
なので、点電荷
から受ける力の大きさは、どちらも向きはx軸正方向で、合力
は、 
倍 ......[答]
が
に作る電場
は、ベクトル
の向きに、大きさ
です(ガウスの法則を参照)。
が作る電場
は、ベクトル
の向きに、大きさ
です。両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトル
の方向を向きます。求める電場は、
で、向きはz軸正方向、大きさは、
......[答]注．計算しなくても、右図を描けば求められます。
問4 
より、
と
との距離は
です。点電荷
が
に作る電場
は、ベクトル
の向きに、大きさ
です。点電荷
が作る電場
は、ベクトル
の向きに、大きさ
です。両電場は同じ大きさなので、合成すると、ベクトル
の方向を向きます。このベクトルとy軸がなす角は、
......[答] 注．y軸正方向を向く単位ベクトルは
で、このベクトルと
とのなす角θ の余弦は、 
です。
問5 正電荷を電場の向きに沿って電場の方向に動かすとクーロン力が仕事をして電位は下がることに注意します。
問3と同様に考えると、z軸上の
の部分に位置する点に、
，
が作る電場はxz平面に関して対称で、両電場を合成すると、z軸正方向を向きます。従って、グラフに見るように、z軸上の電場のz成分
は
です。ABとCDの距離はいずれもaです。
の正電荷をBからAまで動かすとき、静電気力とつり合う外力のする仕事がAB間の電位差になります(電位・電圧を参照。
なのでAの方が電位が高い)。
グラフを見ると、AB間での電場の方がBC間の電場よりも強いので、外力は、CからBまでの移動よりも、BからAまでの移動の方が、正電荷の移動に大きな仕事をする必要があります。つまり、AB間の電位差の方がCD間の電位差よりも大きいということになります。AB間の電位差の方がBC間の電位差よりも大きい ......[答]理由：電場はz軸正方向を向いていて、AB間の電場の大きさの方がBC間の電場の大きさよりも大きく、正電荷を移動させるとAB間の方が大きな仕事を必要とするから。 ......[答] 追記．
がz軸上の
(
)に作る電場
は、向きがベクトル
の向きで、大きさが
，
が
に作る電場
は、向きがベクトル
の向きで、大きさが
です。合成電場は、ベクトル
の方向(z軸正方向)を向いていて、
における電場のz成分は、 
･･･①より、
は
において極大値
をとり、
において
，
のとき
となります。
のグラフが問題文中の図に描かれています。
無限遠を基準として、
が
に作る電位
は、
，
が
に作る電位も
で、両者を重ね合わせて、
における電位は、 
(
となっています) ･･･②これより、O (
)における電位は、
，A (
)における電位は、
，B (
)における電位は、
，C (
)における電位は、
これより、
，
(問6の答)がわかります。
問6 問5に書いたように、z軸上の
の部分において、電場のz成分
は常に
なので、z座標が大きくなるに従って電位は下がります。つまり、電位の高い順に、 O，A，B，C ......[答]
問7 正電荷
，
はx軸上に存在するので、yz平面上での電位の分布はx軸、即ち、yz平面上での原点に関して回転対称になり、いろいろな電位の値に対して等電位線を描くと、原点を中心とする同心円になります。 
より、
と
との距離は
です。
無限遠を基準として、
が
に作る電位
は、
が
に作る電位も
に等しく、両電位を重ね合わせると、
における電位vは、
等電位線は
である点の軌跡で、分母を払い2乗して整理すると、等電位線となる円の半径をrとして、
より、
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問1 点電荷qと
，
との間では斥力が働きます。
問3 
より、
と
との距離は
です。
になります(
において、電位vは半径rの減少関数)が、これをさらに微分すると①です。これより、電位vを縦軸、半径rを横軸にとってグラフを描くと、
において変曲点をもつような右上図のような曲線になります。
のとき
(
とします)となりますが、等電位線間の電位差が
で等間隔になるように等電位線を引くことにすると、
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
，
のとき
(右上図で緑色の線で示しました)となり、等電位線の状況を図示すると右下図のようになります。