赤道上空の円軌道を地球の自転と同じ向きに同じ周期で周回している人工衛星は静止衛星と呼ばれ、地上からは静止して見える。静止衛星は気象観測や放送・通信など様々な目的に利用されているが、地上から宇宙空間へ到達するワイヤーを静止衛星として周回させることができれば、このワイヤーを使って宇宙空間へ人や物資を運ぶことのできる「軌道エレベーター」を実現できる可能性がある。
ここでは、静止衛星が地球を周回する角速度を
とおき、地球の質量をとおき、地球の質量をM，地球の半径を
，万有引力定数をGとする。さらに、地球の中心からの距離に比べると大きさを無視することのできる小さな静止衛星が、地球を周回する円軌道の半径を
と表すことにする。
Ⅰ．以下の問に答えよ。
の値をラジアン毎秒[rad/s]の単位で求めよ。ただし、有効数字は1桁とせよ。
のうち、必要なものを用いて
を表せ。
Ⅱ．質量mの小さな人工衛星を
とは異なる半径の円軌道上で運動させると、この人工衛星の運動は、地上から静止して見える静止衛星としての条件を満たさない。しかし、図2に示すように、鉛直で下端が赤道上の地表面に固定されたワイヤーを、この人工衛星に接続して適切な初速度を与えれば、
よりも大きな半径
の円軌道上であっても、人工衛星を静止衛星として運動させることができる。
，
，m，M，G，
のうち、必要なものを用いて表せ。
問4 図3に示すように、ワイヤー上の半径
(
)の位置に質量
をもつ小物体をとりつけた。このとき、ワイヤーと人工衛星は地上から見て静止したままであった。このあと、静かに小物体をワイヤーから切り離すと、小物体はワイヤーとは独立に運動し地球から無限遠へと遠ざかった。小物体を、地球を周回する軌道から離脱させ、再び地球へ接近させないために必要な最小の
を
，
，m，
，M，G，
のうち、必要なものを用いて表せ。
Ⅲ．次に、ワイヤーが質量をもつ場合を考えよう。図4上に示すように、赤道上の地表面から単位長さあたりλの質量をもつワイヤーが、上空へ向かって伸びている。Ⅱでの状況と異なり、ワイヤーは地表面に固定されおらず、ワイヤーの上端に人工衛星は取り付けられていない。このワイヤーは、鉛直を保ったまま伸び縮みすることなく地球の周りを周回しており、ワイヤーの上端は半径
の円軌道上を運動しているが、地上から見ると静止している。
をもつN個の要素に分割して考えよう。Nを十分に大きくして
を小さくすれば、それぞれの要素を、その重心に質量が集中した質点とみなすことができる。このとき、ワイヤー全体は、図4(ii)に示すように、長さ
の質量の無視できる短いひもでつながれた、N個の質点の集合となる。地表面から数えてi番目の質点は半径
の円軌道上を運動する。
，鉛直下向きに受ける張力の大きさを
とする。
と
の差を
とおき、質点の質量を
とする。質点の運動方程式を考えると、
はG，M，
，
，
を用いて
(a) 
をλと
を用いて表せば
(b) 
に対して成り立つ近似式
の和Fは、λ，G，M，
，
，
を用いて
(c) 
番目の質点が存在しないことを考えると、
であるので、Fは
(d) 
を
と問2で考えた
を用いて表せ。ただし、
であることに留意せよ。
の値に最も近いものを以下の選択肢から選び、(あ)～(こ)の記号で答えよ。ここでは、
と近似してよい。
[2] 図1のように、発電所から遠方の電力の消費地へ、2本の送電線を用いて電力を送る場合を考える。送電線には長さに比例した電気抵抗(以降、抵抗という)がある。また、送電線を電極と考えると、平板電極の場合と同様に、並んだ2本の送電線はコンデンサーとして考えることができ、長さに比例した電気容量がある。これらの抵抗と電気容量は送電線に一様に分布している。この電気容量があるため、送電線での消費電力は、送電線の抵抗だけでは決まらない。
とする。消費地での電圧の最大値をV[V]，1周期で時間平均した消費電力(以降、時間平均消費電力という)を
[W]とする。なお、
や
の時間平均は
であることを用いてよい。以下の問に答えよ。
とする場合、時刻t に消費地で消費する電力
を、V，r，ω，t を用いて表せ。
問2 図2の消費地の抵抗を流れる電流の最大値
を、rを用いずに、Vと、消費地での消費電力
の時間平均消費電力
を用いて求めよ。
を、ω，C，Vを用いて求めよ。
異なっている。これらを合成した電流が送電線を流れる。送電線を流れる電流の最大値
を、ω，C，V，
を用いて求めよ。
を、ω，C，V，
，Rを用いて求めよ。
とωとCを固定した場合に、送電線で消費する時間平均消費電力
を最小にするVの値
と、そのときの
を、ω，C，
，Rのうち、必要なものを用いて表せ。ただし、相加相乗平均の不等式を用いてもよい。
A． 空気が入ったゴム風船(図1左)は、外からはたらく圧力や、温度に応じて、大きさが変わる。このふるまいを、以下のように単純化したモデルで考えよう。
)とする。ピストンはシリンダーの底面とばねでつながれている。このばねは風船のゴムを模した仮想的なもので、その体積は無視できる。また、ばね定数はk (
)であり、ピストンは、このばねから大きさ
の力をx軸の負の向きに受ける。以下、ピストンとシリンダーとばねを合わせたものを、装置とよぶ。シリンダーにはnモルの単原子分子理想気体が入っており、シリンダーの外部は真空である。このピストンに対し、外力Fを作用させる。ただし、外力は図の矢印の向きを正とし、正負どちら向きにもかけられる。Fが負の場合、Fは大気中に置かれた風船に大気が外から及ぼす力を模している。また、気体と装置からなる系全体は常に一様な温度であり、その温度Tは変化させることができる。ただし、装置の熱容量は無視できる。以下ではすべての操作を十分にゆっくりと行う。また気体定数をRとする。以下の問に答えよ。
に微小に変化させたとき、気体に流入する熱量
を求めよ。
とする。
に微小変化させたとき、気体とばねからなる系全体に流入する熱量
を求めよ。また、この結果を用いて、系全体の熱容量Cを求めよ。
が1より十分に小さいとき、aを正の実数として
，Xが1より十分に大きいとき、
と近似できることを用いよ。
でのxを
とし、
とする。これらを用いて
を
だけの関数として表せ。次に、横軸を
，縦軸を
として、その概形を解答用紙のグラフに図示せよ。
まで微小に変化させたとき、ピストンの位置がxから
まで微小に変化した。このとき、
は気体とばねからなる系の、実効的なばね定数とみなせる。なお、
は1よりも十分に小さく、
の2次の項は無視してよい。
を求めよ。
が限りなく大きい場合
の場合
B．図2のように、電気的に中性の粒子Aと、それと比較して十分に軽い質量Mの荷電粒子Bがあり、それらの間に、ある引力がはたらいている物理系を考える。この引力によって、荷電粒子Bは中性粒子Aの周りを半径r，速さvで等速円運動しているとする。その引力の大きさFは、互いの距離に比例し
(
)
(a) 
(b) 
は、kとrを用いて
(c) 
は、プランク定数をhとおくと、M，k，h，rを用いて
(d) 
の自然数倍(n倍)である場合にのみ、定常状態(定常波)が実現する」
として、M，k，h，nを用いて表すと、
(e) (
)
は、M，k，h，nを用いて、
(f) (
)
番目の定常状態から、エネルギーがより低いn番目の定常状態に移る時に、光子1個が放出される」
とnの2つの定常状態の間のエネルギー差
は、M，k，h，n，
を用いて、
(g) (
)
は、M，k，n，
，cを用いて
(h) (
)