赤道上空の円軌道を地球の自転と同じ向きに同じ周期で周回している人工衛星は静止衛星と呼ばれ、地上からは静止して見える。静止衛星は気象観測や放送・通信など様々な目的に利用されているが、地上から宇宙空間へ到達するワイヤーを静止衛星として周回させることができれば、このワイヤーを使って宇宙空間へ人や物資を運ぶことのできる「軌道エレベーター」を実現できる可能性がある。
ここでは、静止衛星が地球を周回する角速度を
とおき、地球の質量をとおき、地球の質量をM，地球の半径を
，万有引力定数をGとする。さらに、地球の中心からの距離に比べると大きさを無視することのできる小さな静止衛星が、地球を周回する円軌道の半径を
と表すことにする。
Ⅰ．以下の問に答えよ。
の値をラジアン毎秒[rad/s]の単位で求めよ。ただし、有効数字は1桁とせよ。
のうち、必要なものを用いて
を表せ。
Ⅱ．質量mの小さな人工衛星を
とは異なる半径の円軌道上で運動させると、この人工衛星の運動は、地上から静止して見える静止衛星としての条件を満たさない。しかし、図2に示すように、鉛直で下端が赤道上の地表面に固定されたワイヤーを、この人工衛星に接続して適切な初速度を与えれば、
よりも大きな半径
の円軌道上であっても、人工衛星を静止衛星として運動させることができる。
，
，m，M，G，
のうち、必要なものを用いて表せ。
問4 図3に示すように、ワイヤー上の半径
(
)の位置に質量
をもつ小物体をとりつけた。このとき、ワイヤーと人工衛星は地上から見て静止したままであった。このあと、静かに小物体をワイヤーから切り離すと、小物体はワイヤーとは独立に運動し地球から無限遠へと遠ざかった。小物体を、地球を周回する軌道から離脱させ、再び地球へ接近させないために必要な最小の
を
，
，m，
，M，G，
のうち、必要なものを用いて表せ。
Ⅲ．次に、ワイヤーが質量をもつ場合を考えよう。図4上に示すように、赤道上の地表面から単位長さあたりλの質量をもつワイヤーが、上空へ向かって伸びている。Ⅱでの状況と異なり、ワイヤーは地表面に固定されおらず、ワイヤーの上端に人工衛星は取り付けられていない。このワイヤーは、鉛直を保ったまま伸び縮みすることなく地球の周りを周回しており、ワイヤーの上端は半径
の円軌道上を運動しているが、地上から見ると静止している。
をもつN個の要素に分割して考えよう。Nを十分に大きくして
を小さくすれば、それぞれの要素を、その重心に質量が集中した質点とみなすことができる。このとき、ワイヤー全体は、図4(ii)に示すように、長さ
の質量の無視できる短いひもでつながれた、N個の質点の集合となる。地表面から数えてi番目の質点は半径
の円軌道上を運動する。
，鉛直下向きに受ける張力の大きさを
とする。
と
の差を
とおき、質点の質量を
とする。質点の運動方程式を考えると、
はG，M，
，
，
を用いて
(a) 
をλと
を用いて表せば
(b) 
に対して成り立つ近似式
の和Fは、λ，G，M，
，
，
を用いて
(c) 
番目の質点が存在しないことを考えると、
であるので、Fは
(d) 
を
と問2で考えた
を用いて表せ。ただし、
であることに留意せよ。
の値に最も近いものを以下の選択肢から選び、(あ)～(こ)の記号で答えよ。ここでは、
と近似してよい。
∴ 
......[答]
∴ 
，
......[答]
∴ 
......[答]
です(等速円運動を参照)。運動エネルギーは、
，位置エネルギーは、
，無限遠に到達したとき、位置エネルギーはゼロになりますが、運動エネルギーが残っているために、力学的エネルギー保存より、
∴ 
は、
......[答]
，鉛直下向きの張力
，鉛直下向きの万有引力
，この質点の運動方程式は、
......[答]
なので、
......[答]
......[答]
とすると、
，
，i：
のとき、
：
ですが、
なので、x：
として、
より、
となります。
より、
.......[答]
，また、問2の
より、
をかけて、
より、
......[答]
として、
とワイヤーから受ける
で、人工衛星の運動方程式は、
なので、
であって、
