阪大物理'21年前期[2]

1のように、発電所から遠方の電力の消費地へ、2本の送電線を用いて電力を送る場合を考える。送電線には長さに比例した電気抵抗(以降、抵抗という)がある。また、送電線を電極と考えると、平板電極の場合と同様に、並んだ2本の送電線はコンデンサーとして考えることができ、長さに比例した電気容量がある。これらの抵抗と電気容量は送電線に一様に分布している。この電気容量があるため、送電線での消費電力は、送電線の抵抗だけでは決まらない。
そこで、この送電線での消費電力量を考えるため、図
2に示すように、抵抗は直列に合成して電線あたりに1個の抵抗とし、電気容量は並列に合成して送電線の消費地側の端に置かれた1つのコンデンサーとして近似する。これは、抵抗と電気容量が一様に分布している実際の場合をよく近似している。合成した抵抗値をそれぞれR[Ω],コンデンサーの電気容量をC[F]とし、消費地では抵抗値r[Ω]の抵抗で電力を消費しているものとする。発電所から角周波数ω[rad/s]の正弦波の交流で送電する。ただし、とする。消費地での電圧の最大値をV[V]1周期で時間平均した消費電力(以降、時間平均消費電力という)[W]とする。なお、の時間平均はであることを用いてよい。以下の問に答えよ。

1 消費地での時刻t での電圧をとする場合、時刻t に消費地で消費する電力を、Vrωt を用いて表せ。
2 図2の消費地の抵抗を流れる電流の最大値を、rを用いずに、Vと、消費地での消費電力の時間平均消費電力を用いて求めよ。
3 図2のコンデンサーを流れる電流の最大値を、ωCVを用いて求めよ。
4 図2の消費地の抵抗を流れる電流とコンデンサーを流れる電流の位相は、図3のように異なっている。これらを合成した電流が送電線を流れる。送電線を流れる電流の最大値を、ωCVを用いて求めよ。
5 2本の送電線全体で消費する時間平均消費電力を、ωCVRを用いて求めよ。
6 ωCを固定した場合に、送電線で消費する時間平均消費電力を最小にするVの値と、そのときのを、ωCRのうち、必要なものを用いて表せ。ただし、相加相乗平均の不等式を用いてもよい。
7 発電所から100km離れた消費地での交流電圧の最大値が500kVになるように、60Hzの正弦波の交流を送電する。送電線の抵抗は1kmあたり0.10Ωとする。送電線間の電気容量は1kmあたりに0.10μFとし、図2のように100km分合成して消費地側に集めて考えよう。消費地で100kWの時間平均消費電力を消費しているときの、2本の送電線全体での時間平均消費電力に最も近いものを、以下の選択肢から選び、()()の記号で答えよ。
() 5kW  () 10kW  () 15kW
(
) 20kW  () 25kW  () 30kW
(
) 35kW  () 40kW  () 45kW


解答 送電線での消費電力を扱う問題です。

1 時刻t に消費地で消費する電力は、
......[]

2 問1の結果より、の時間平均消費電力は、の時間平均がであることから、,電流の最大値を用いて表すと、
 ∴ ......[]

3 静電容量Cのコンデンサーの容量リアクタンスはです。コンデンサー両端の電圧の最大値はV,電流の最大値は、
......[]

4 消費地の抵抗rを流れる電流の位相は電圧の位相と同じなので、電流の最大値を用いて、
一方、コンデンサーCを流れる電流の位相は、図3のように進んでいるので、電流の最大値を用いて、
送電線を流れる電流は、の和で、
 (δは、を満たす角)
送電線を流れる電流の最大値は、問2、問3の結果を用いて、
......[]

5 2本の送電線で消費する時間平均消費電力は、の時間平均として、
......[]

6 相加平均相乗平均の関係より、
等号成立は、,つまり、のとき。
時間平均消費電力を最小にする
Vの値は、 ......[]
そのときのは、 ......[]

7 消費地での交流の最大値,正弦波の角周波数,送電線の100kmあたりの抵抗100kmあたりの静電容量,消費地での時間平均消費電力を問5の結果に代入して、
最も近いのは、() ......[]



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