阪大物理'21年前期[3]

以下のABの両方の問題に解答せよ。なおABは独立した内容の問題である。

A 空気が入ったゴム風船(1)は、外からはたらく圧力や、温度に応じて、大きさが変わる。このふるまいを、以下のように単純化したモデルで考えよう。
1右のように断面積Sの固定されたシリンダー内に、なめらかに動くピストンがある。シリンダーの底面の位置を原点として、ピストンの位置をx ()とする。ピストンはシリンダーの底面とばねでつながれている。このばねは風船のゴムを模した仮想的なもので、その体積は無視できる。また、ばね定数はk ()であり、ピストンは、このばねから大きさの力をx軸の負の向きに受ける。以下、ピストンとシリンダーとばねを合わせたものを、装置とよぶ。シリンダーにはnモルの単原子分子理想気体が入っており、シリンダーの外部は真空である。このピストンに対し、外力Fを作用させる。ただし、外力は図の矢印の向きを正とし、正負どちら向きにもかけられる。Fが負の場合、Fは大気中に置かれた風船に大気が外から及ぼす力を模している。また、気体と装置からなる系全体は常に一様な温度であり、その温度Tは変化させることができる。ただし、装置の熱容量は無視できる。以下ではすべての操作を十分にゆっくりと行う。また気体定数をRとする。以下の問に答えよ。

T.まず、ピストンを固定した場合を考える。

1 温度Tからに微小に変化させたとき、気体に流入する熱量を求めよ。

U.次に、ピストンを固定せずに自由に動けるようにした場合を考える。ただし、外力は作用させず、とする。

2 温度Tにおいて力がつり合い、ピストンが静止した場合のxを、knRTを用いて表せ。
3 温度をTからに微小変化させたとき、気体とばねからなる系全体に流入する熱量を求めよ。また、この結果を用いて、系全体の熱容量Cを求めよ。

V.さらに、ピストンを自由に動けるようにしたまま、外力Fを作用させる場合を考える。必要ならば、1より十分に小さいとき、aを正の実数としてX1より十分に大きいとき、と近似できることを用いよ。

4 温度T,外力Fの下でピストンが静止している場合の、ピストンの位置xを求めよ。
5 問4の結果を図示しよう。でのxとし、とする。これらを用いてだけの関数として表せ。次に、横軸を,縦軸をとして、その概形を解答用紙のグラフに図示せよ。
6 温度Tを一定に保ったまま、外力をFからまで微小に変化させたとき、ピストンの位置がxからまで微小に変化した。このとき、は気体とばねからなる系の、実効的なばね定数とみなせる。なお、1よりも十分に小さく、2次の項は無視してよい。
以下の場合について、比を求めよ。
(a) が限りなく大きい場合
(b) の場合

B.図2のように、電気的に中性の粒子Aと、それと比較して十分に軽い質量Mの荷電粒子Bがあり、それらの間に、ある引力がはたらいている物理系を考える。この引力によって、荷電粒子Bは中性粒子Aの周りを半径r,速さvで等速円運動しているとする。その引力の大きさFは、互いの距離に比例し
 ()
で表される。中性粒子Aは原点に静止しているとしてよい。重力の効果は無視する。

7 以下の文章の空欄(a)(h)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。
この引力による荷電粒子Bの位置エネルギーUは、原点を基準点にとったとき、
 (a) 
と与えられる。一方、荷電粒子Bの回転の中心方向の運動方程式が、
 (b) 
と与えられることから、荷電粒子Bの運動エネルギーKも求まる。よって、この荷電粒子Bの力学的エネルギーは、krを用いて
 (c) 
と表すことができる。
ド・ブロイによると、ミクロな世界では、粒子には波としての性質が現れ、その波長は粒子の運動量の大きさの逆数に比例する。今考えている物理系が原子と同程度に小さいとすると、荷電粒子
Bにも波としての性質が現れてくる。この波の波長は、プランク定数をhとおくと、Mkhrを用いて
 (d) 
で与えられる。
さて、ボーアの水素原子の理論の場合にならって、この物理系に量子条件と振動数条件を課すことを考えよう。
まず、次の量子条件を課す。

「荷電粒子Bの軌道の一周の長さが、波長の自然数倍(n)である場合にのみ、定常状態(定常波)が実現する」
この場合に、許される軌道の半径は、nに対応した、とびとびの値をとる。これをとして、Mkhnを用いて表すと、
 (e)  ()
となる。結局、n番目の軌道を回る荷電粒子Bのもつ全エネルギーは、Mkhnを用いて、
 (f)  ()
と与えられる。
さらに、この物理系において、次の振動数条件を課すとしよう。

「荷電粒子B番目の定常状態から、エネルギーがより低いn番目の定常状態に移る時に、光子1個が放出される」
この場合に、n2つの定常状態の間のエネルギー差は、Mkhnを用いて、
 (g)  ()
となるから、真空中での光の速さをcとすると、放出される光の波長は、Mkncを用いて
 (h)  ()
と与えられる。

解答  AUは、ばね付きピストンの問題ですが、定圧変化でも定積変化でも等温変化でも断熱変化でもないことに注意が必要です。pV図は直線になり、4つの変化で使う考え方が使えません。
B.は、ばねの弾性力のような力を受けて円運動する物体に量子条件を課す、という問題です。

AT問1 ピストンが固定されていて定積変化なので、気体は仕事をせず、気体に流入する熱量、つまり、気体が吸収する熱は内部エネルギーの変化に等しく、単原子分子理想気体なので、

......[]

U問2 断面積S,気体存在部分の長さxより、シリンダー内の気体の体積は,気体の圧力をPとして、気体の状態方程式は、
 ・・・@
気体がピストンを押す力とばねの弾性力とのつり合いより、
 ・・・A
これと@より、 ・・・B
......[]

3 よりです。これをAに代入して、Skは定数なので、圧力Pは体積Vに比例し、pV図は直線になります。温度がTからに変化し、ピストンの位置がxからに変化するとき、pV図とV軸との間に挟まれた部分の面積が気体のした仕事になりますが、この過程では、この面積は台形の面積となります。
温度がのときの気体の圧力をとすると、このときのピストンに働く力のつり合いは、
 ・・・C
この過程で気体のした仕事は、台形の面積として、
A,Cを用いて、
 ・・・D
注.気体はばねに対して仕事をするので、気体のした仕事をばねの弾性エネルギーの変化として求めれば、最初からこの形になります。
Bより、 ・・・E
温度がのときの状態方程式は、
 ・・・F
C,Fより、 ・・・G
G−Eより、
これを、Dに代入して、
この過程で、気体の内部エネルギーの変化は、単原子分子理想気体なので、
熱力学第一法則より、系全体に流入する熱量は、
......[]
系全体の熱容量をCとして、より、 ......[]

V問4 ピストンに働く力のつり合いより、
@に代入すると、
より、 ......[]

5 問4の結果をで割って、
2の結果より、,これとより、
......[] ・・・G
グラフは右図。

6 Gでとして、
を無視して、
問題文中の近似式を用いてさらに近似を行い、
 ・・・H
H−Gより、
より、 ・・・I
(a) Iにおいて、とすると、 ∴ .......[]
(b) Iにおいて、とすると、 ∴ ......[]

B.問7(a) 位置エネルギーUは、引力に逆らう外力 (xが大きくなる方向)により基準点からまで移動させるのに必要な仕事として、
......[]
(b) 荷電粒子Bの運動方程式は、
 ∴ ......[]
(c) (b)より、荷電粒子Bの運動エネルギーは、

......[]
(d) (b)の結果より、 ∴
ド・ブロイ波長の式より、荷電粒子Bに付随する波の波長は、
......[]
(e) 量子条件より、円周の長さを波長の自然数n倍とし、また、荷電粒子Bに許される軌道半径をとして、
(d)の結果でとしたものを代入すると、

......[
]
(f) 半径の円周軌道上の荷電粒子Bの全エネルギーは、(c)(e)の結果より、
......[]
(g) n2つの定常状態の間のエネルギー差は、(f)の結果より、
......[]
(h) 放出される光の波長は、より、
.......[]



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