阪大物理'21年前期[3]
以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。
A． 空気が入ったゴム風船(図1左)は、外からはたらく圧力や、温度に応じて、大きさが変わる。このふるまいを、以下のように単純化したモデルで考えよう。図1右のように断面積Sの固定されたシリンダー内に、なめらかに動くピストンがある。シリンダーの底面の位置を原点として、ピストンの位置をx (
)とする。ピストンはシリンダーの底面とばねでつながれている。このばねは風船のゴムを模した仮想的なもので、その体積は無視できる。また、ばね定数はk (
)であり、ピストンは、このばねから大きさ
の力をx軸の負の向きに受ける。以下、ピストンとシリンダーとばねを合わせたものを、装置とよぶ。シリンダーにはnモルの単原子分子理想気体が入っており、シリンダーの外部は真空である。このピストンに対し、外力Fを作用させる。ただし、外力は図の矢印の向きを正とし、正負どちら向きにもかけられる。Fが負の場合、Fは大気中に置かれた風船に大気が外から及ぼす力を模している。また、気体と装置からなる系全体は常に一様な温度であり、その温度Tは変化させることができる。ただし、装置の熱容量は無視できる。以下ではすべての操作を十分にゆっくりと行う。また気体定数をRとする。以下の問に答えよ。
Ⅰ．まず、ピストンを固定した場合を考える。
問1 温度Tから
に微小に変化させたとき、気体に流入する熱量
を求めよ。
Ⅱ．次に、ピストンを固定せずに自由に動けるようにした場合を考える。ただし、外力は作用させず、
とする。
問2 温度Tにおいて力がつり合い、ピストンが静止した場合のxを、k，n，R，Tを用いて表せ。
問3 温度をTから
に微小変化させたとき、気体とばねからなる系全体に流入する熱量
を求めよ。また、この結果を用いて、系全体の熱容量Cを求めよ。
Ⅲ．さらに、ピストンを自由に動けるようにしたまま、外力Fを作用させる場合を考える。必要ならば、
が1より十分に小さいとき、aを正の実数として
，Xが1より十分に大きいとき、
と近似できることを用いよ。
問4 温度T，外力Fの下でピストンが静止している場合の、ピストンの位置xを求めよ。
問5 問4の結果を図示しよう。
でのxを
とし、
とする。これらを用いて
を
だけの関数として表せ。次に、横軸を
，縦軸を
として、その概形を解答用紙のグラフに図示せよ。 問6 温度Tを一定に保ったまま、外力をFから
まで微小に変化させたとき、ピストンの位置がxから
まで微小に変化した。このとき、
は気体とばねからなる系の、実効的なばね定数とみなせる。なお、
は1よりも十分に小さく、
の2次の項は無視してよい。 以下の場合について、比
を求めよ。(a) 
が限りなく大きい場合(b) 
の場合
B．図2のように、電気的に中性の粒子Aと、それと比較して十分に軽い質量Mの荷電粒子Bがあり、それらの間に、ある引力がはたらいている物理系を考える。この引力によって、荷電粒子Bは中性粒子Aの周りを半径r，速さvで等速円運動しているとする。その引力の大きさFは、互いの距離に比例し
(
)で表される。中性粒子Aは原点に静止しているとしてよい。重力の効果は無視する。
問7 以下の文章の空欄(a)～(h)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。
この引力による荷電粒子Bの位置エネルギーUは、原点を基準点にとったとき、
(a) と与えられる。一方、荷電粒子Bの回転の中心方向の運動方程式が、
(b) と与えられることから、荷電粒子Bの運動エネルギーKも求まる。よって、この荷電粒子Bの力学的エネルギー
は、kとrを用いて 
(c) と表すことができる。
ド・ブロイによると、ミクロな世界では、粒子には波としての性質が現れ、その波長は粒子の運動量の大きさの逆数に比例する。今考えている物理系が原子と同程度に小さいとすると、荷電粒子Bにも波としての性質が現れてくる。この波の波長
は、プランク定数をhとおくと、M，k，h，rを用いて 
(d) で与えられる。
さて、ボーアの水素原子の理論の場合にならって、この物理系に量子条件と振動数条件を課すことを考えよう。
まず、次の量子条件を課す。「荷電粒子Bの軌道の一周の長さが、波長
の自然数倍(n倍)である場合にのみ、定常状態(定常波)が実現する」この場合に、許される軌道の半径は、nに対応した、とびとびの値をとる。これを
として、M，k，h，nを用いて表すと、 
(e) (
)となる。結局、n番目の軌道を回る荷電粒子Bのもつ全エネルギー
は、M，k，h，nを用いて、 
(f) (
)と与えられる。
さらに、この物理系において、次の振動数条件を課すとしよう。「荷電粒子Bが
番目の定常状態から、エネルギーがより低いn番目の定常状態に移る時に、光子1個が放出される」この場合に、
とnの2つの定常状態の間のエネルギー差
は、M，k，h，n，
を用いて、 
(g) (
)となるから、真空中での光の速さをcとすると、放出される光の波長
は、M，k，n，
，cを用いて 
(h) (
)と与えられる。
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解答 A．Ⅱは、ばね付きピストンの問題ですが、定圧変化でも定積変化でも等温変化でも断熱変化でもないことに注意が必要です。pV図は直線になり、4つの変化で使う考え方が使えません。
B．は、ばねの弾性力のような力を受けて円運動する物体に量子条件を課す、という問題です。
......[答]
Ⅱ．問2 断面積S，気体存在部分の長さxより、シリンダー内の気体の体積は
，気体の圧力をPとして、気体の状態方程式は、 
･･･①気体がピストンを押す力とばねの弾性力とのつり合いより、 
･･･②これと①より、
，
･･･③ ∴ 
......[答]
問3 
より
です。これを②に代入して、
，S，kは定数なので、圧力Pは体積Vに比例し、pV図は直線になります(直線的変化を参照)。温度がTから
に変化し、ピストンの位置がxから
に変化するとき、pV図とV軸との間に挟まれた部分の面積が気体のした仕事になりますが、この過程では、この面積は台形の面積となります。 温度が
のときの気体の圧力を
とすると、このときのピストンに働く力のつり合いは、 
･･･④この過程で気体のした仕事は、台形の面積として、
②，④を用いて、
･･･⑤注．気体はばねに対して仕事をするので、気体のした仕事をばねの弾性エネルギーの変化として求めれば、最初からこの形になります。 ③より、
･･･⑥
温度が
のときの状態方程式は、 
･･･⑦④，⑦より、
･･･⑧
⑧－⑥より、
これを、⑤に代入して、 単原子分子理想気体なので、この過程で、気体の内部エネルギーの変化は、
......[答]系全体の熱容量をCとして、
より、
......[答]
Ⅲ．問4 ピストンに働く力のつり合いより、
①に代入すると、
より、
......[答]
問5 問4の結果を
で割って、問2の結果より、
，これと
より、 
......[答] ･･･⑨グラフは右図。
問6 ⑨で
，
として、 
を無視して、問題文中の近似式を用いてさらに近似を行い、
･･･⑩⑩－⑨より、
より、
･･･⑪(a) ⑪において、
とすると(不定形の極限を参照)、
.......[答] (b) ⑪において、
とすると、
......[答]
B．問7(a) 位置エネルギーUは、引力に逆らう外力
(xが大きくなる方向)により基準点
から
まで移動させるのに必要な仕事として、 
......[答]
∴ 
......[答]
∴ 
......[答](d) (b)の結果より、
∴ 
......[答](e) 量子条件より、円周の長さを波長の自然数n倍とし、また、荷電粒子Bに許される軌道半径を
として、 (d)の結果で
としたものを代入すると、
∴ 
......[答] (f) 半径
の円周軌道上の荷電粒子Bの全エネルギーは、(c)，(e)の結果より、 
......[答](g) 
とnの2つの定常状態の間のエネルギー差
は、(f)の結果より、 
......[答](h) 放出される光の波長は、
より、 
.......[答]
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