気体のした仕事 関連問題
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定圧変化で気体のした仕事Wは、圧力p，体積変化
のとき、
体積Vのときの圧力が
であるような変化をしているとき、体積が
と変化すると、気体のした仕事Wは、
この定積分は、p－V曲線とV軸で囲まれる
の部分の面積に相当します。
容器に気体を封入して、面積Sのピストンをはめこむとき、圧力pの気体がピストンに及ぼす力は
です。圧力がpのまま一定で、ピストンが
だけ動くとき、気体がピストンにした仕事Wは、
です。
このときの体積変化
は、
よって、定圧変化のときに気体がした仕事は、
･･･① (エネルギーの原理を参照)となります。
このとき、圧力が一定ではなく、体積Vのときの圧力が体積の関数
で与えられるような変化をしているとします。
体積が
と変化するとして、この変化の過程で、体積が
と微小体積
だけ変化したとき、圧力変化を無視して、圧力
で定圧変化したと見なすと、このときに気体のした仕事
は、①より、
です。ここで、
とすると、
よって、体積が
と変化するとき、気体のした仕事Wは、
･･･②
で与えられます。
この定積分は、この変化を表すp－V曲線とV軸、直線
，
で囲む部分(右図黄色部分)の面積になります(定積分と面積を参照)。
②式において、
なので、
のとき
，
のとき
となります。
従って、気体が体積を増大させるとき(膨張するとき)には、気体は正の仕事、体積を減少させるとき(圧縮されるとき)には、気体は負の仕事をします。
気体が負の仕事をする、というのは、気体が外力によって仕事をされる、外部から仕事を受ける、ということです。
但し、気体が断熱的に真空領域に向かって膨張(自由膨張と言います)する場合には、気体の体積が膨張していても、気体は外部に対しては仕事をしないことに注意してください。このとき、断熱変化でかつ仕事もしないので、熱力学第一法則より、内部エネルギーは変化せず気体の温度は変化しません。
特に、定積変化の場合には、②より、
となり、気体が仕事をしないことがわかります。
絶対温度Tで等温変化して、体積が
と変化するとき、気体のした仕事Wは、
より、
となります。
断熱変化の場合には、定積分で考えるよりも、熱力学第一法則から、
となるので、絶対温度の変化
を用いて、
として求めます。
断熱変化では、温度が上昇すると(断熱圧縮)気体は負の仕事、温度が下がると(断熱膨張)気体は正の仕事をします。
容器にはめこまれたピストンにばねがついていて、p－V曲線が直線になるような場合、体積と圧力が
と変化するとき、気体のした仕事Wは、p－V図の台形の面積となり、
で与えられます。
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