大阪大学2022年前期物理入試問題
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[1] 図1のように、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとった平面内における質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。物体Aは、x軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また、物体Aと物体Bは伸び縮みしない長さ
で質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度θ[rad]を、図1に示すように定義する。物体Aと棒の間の摩擦力は無視でき、また、物体Aおよび物体Bは質点とみなしてよい。重力加速度の大きさを
とする。
Ⅰ．まず、物体Aを棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体Bを持ち上げ、静かに離すと物体Bは振動をはじめた。このとき、以下の問に答えよ。
問1 以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
糸の角度がθのとき、糸の張力の大きさをS，物体Bの加速度のx成分およびy成分を、それぞれ、
および
とするとき、物体Bの運動方程式は、
(a) および
(b) と表される。 問2 
が十分に小さいとき、物体Bは水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき、問1で求めた運動方程式において、
，
と近似し、振動の周期Tを求めよ。
Ⅱ．次に、物体Aを棒に沿って動かす。ただし、物体Aの加速度のx成分が、図2に示すように、
ごとに
(
)で符号が変わるように物体Aを加減速させながら動かす。ここで、Tは問2で求めた周期である。また、時刻
で糸は鉛直で、物体はいずれも静止しており、このときの物体の位置のx座標を0とする。なお、物体Bの振動の振幅は十分小さく、
は十分に小さいとしてよい。このとき、以下の問に答えよ。
問3 時刻
(nは自然数)における物体Aのx座標
を求めよ。 問4 時刻tが
の間の運動を考える(図3)。このとき、以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に示せ。 物体Aとともに動く非慣性系で物体Bに作用する慣性力の水平部分は、右向き正として (c) であるので、この非慣性系で、物体Bは初期位置から水平方向に右向きを正として、 (d) だけずれた位置を中心として、周期がTの単振動を半周期だけする。したがって、時刻
で、糸の角度θは (e) となり、この非慣性系で物体Bは静止する。ただし、角度θは図1のように定義する。 問5 時刻
(nは自然数)における糸の角度
を求めよ。 問6 物体Aが図2に示す加速度のx成分をもつためには、物体Aに重力、糸からの張力、棒からの抗力以外に、外力を作用させる必要がある。
におけるこの外力のx成分を求めよ。
Ⅲ．次に、物体Aを水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で、物体Aが静止している状態で、物体Bにx軸の正の向きに大きさ
の速度を与えたところ、糸はたるまずに、また、糸の角度θが
のある範囲で、物体Bは振動した。図4には、ある時刻における、物体Aおよび物体Bの運動の様子を点線で示す。ただし、
は微小とは限らない。このとき、以下の問に答えよ。
問7 物体Bが最高点に達したときの、物体Aの速さを求めよ。
問8 物体Bの最高点の高さを、物体Bの初期位置を基準として求めよ。
[解答へ]
[2] 図1のような回路をブリッジ回路という。いくつかのブリッジ回路に関する問題を考える。ただし、導線の電気抵抗と電源の内部抵抗は、共に無視できるほど小さいものとする。
Ⅰ．図1の回路において、抵抗1，2，3，4の抵抗値が、それぞれ
[Ω]，
[Ω]，
[Ω]，
[Ω]であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。
問1 抵抗1に加わる電圧の大きさ
[V]と、抵抗2に加わる電圧の大きさ
[V]の比
を、E，
，
，
のうち、必要なものを用いて表せ。
Ⅱ．単一の抵抗に加わる電圧と流れる電流との間の関係を、電流-電圧特性という。電流-電圧特性が直線で表せない抵抗のことを非直線抵抗という。図1の回路が非直線抵抗を含む場合について考える。
図1の回路において、抵抗1は非直線抵抗X，抵抗2，3はそれぞれ抵抗値が
[Ω]，
[Ω]の抵抗、抵抗4は非直線抵抗Yであるとする。非直線抵抗Xおよび非直線抵抗Yの電流-電圧特性は未知であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。
問3 抵抗1に加わる電圧の大きさを
[V]，抵抗1を流れる電流の大きさを
[A]とする。抵抗2にオームの法則を適用することによって、
[A]を
，E，
を用いて表せ。 問4 
，
，
とする。このとき、以下の(a)，(b)の2つの場合について、それぞれ答えよ。 (a) 非直線抵抗Xとして、図2の(あ)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗を用いた場合を考える。このとき、
[V]，および、抵抗4に加わる電圧の大きさ
[V]を、それぞれ有効数字2桁で求めよ。 (b) 非直線抵抗Xと非直線抵抗Yとして、図2の(あ)，(い)，(う)，(え)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗のいずれかを、それぞれ用いた場合を考える。非直線抵抗Xと非直線抵抗Yの電流-電圧特性として、最も適した組み合わせを答えよ。解答においては、それぞれを(あ)，(い)，(う)，(え)から一つずつ選ぶこと(例：「X：(い)，Y：(あ)」)。なお、「X：(い)，Y：(い)」のように、XとYについて同じ選択肢を選んでもよい。
Ⅲ．さらに、図3の回路について考える。交流電源の電圧は、最大値が
[V]，角周波数がω[rad/s]であり、点ウを基準とした点アの電位は、時刻t [s]において
となる。抵抗5，6の抵抗値をR[Ω]，コンデンサの電気容量をC[F]，コイルの自己インダクタンスをL[H]とする。交流電流計は、交流電流の大きさを測定できる装置である。測定の結果、あらゆる時刻において常に、点イと点エの間には電流が流れていないことがわかった。このとき、以下の問に答えよ。なお、図3における矢印の向きを電流の正の向きとする。また、実数α，β，γ，θに対して成り立つ、以下の公式を、必要に応じて用いてよい。
問5 抵抗5を流れる電流を、その最大値
[A]と、交流電源の電圧との位相差ϕを用いて、
と表す。このとき、以下の文中の空欄(a)～(d)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。ただし、(a)，(b)については
，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表し、(c)，(d)については
，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。
点ウを基準とした点イの電位は (a) 
と表され、点イを基準とした点アの電位は (b) 
と表される。これらの和が、交流電源の電圧
と等しい。よって、
(c) [A]，
(d) であることがわかる。
問6 コンデンサを流れる電流は
と表せる。
[A]を、
，ω，R，Cのうち必要なものを用いて表せ。 問7 C[F]を、ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。
[解答へ]
[3] 以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。
A． 図1のような固定されたシリンダー内に、なめらかに動く2つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を、左から部屋A，部屋B，部屋Cとよぶ。部屋Aと部屋Bをピストン1，部屋Bと部屋Cをピストン2が仕切る。部屋Aと部屋Cの中にあるヒーター
とヒーター
を用いて、それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー、ピストン、ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。この装置のピストンを、外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ1モルずつ、同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を
，定圧モル比熱を
とする、気体定数をRとする。 Ⅰ．この装置を絶対温度
の環境に置いて、順番に以下の操作をする。はじめ、部屋A，B，Cの気体の体積はいずれも
であった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。
図2に、絶対温度Tが一定である1モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては、図2の斜線部の面積が
であることを用いてよい。ここでの
は、
である。e (
)は無理数であり、eを底とする対数を自然対数という。
問1 まず、ピストン2を固定した状態でピストン1を十分にゆっくりと右に動かし、部屋Aの気体の体積が
となったところでピストン1を固定した。このときの、部屋Bの気体の圧力
を、R，
，
を用いて表せ。 問2 問1の操作によってピストン1が部屋Bの気体にした仕事
を、R，
，
のうち必要なものを用いて表せ。 問3 問1で最後にピストン1を固定した状態からピストン2を十分にゆっくりと左に動かし、部屋Cの気体の体積が
となったところでピストン2を固定した。問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、以下の量を求めよ。必要であれば、R，
，
，
を用いてよい。 (a) 3つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和
(b) 装置から外部に放出された熱の総量Q
Ⅱ．ふたたび、各部屋の気体の体積が
，絶対温度が
である状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い、シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており、部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態(あ)とする。 まず、ヒーター
を用いて部屋Aの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(い)とする。さらに、ヒーター
を用いて部屋Cの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(う)とする。状態(う)において、部屋A，B，Cの気体の体積比は4：1：4になっていた。以下の問に答えよ。
解答にあたっては、pを理想気体の圧力、Vを理想気体の体積とすると、断熱過程において
が一定に保たれることを用いてよい。ただし、
である。
問4 状態(う)における部屋Bの気体の絶対温度
を、γ，
のうち必要なものを用いて表せ。 問5 ヒーター
が部屋Aの気体に与えた熱を
，ヒーター
が部屋Cの気体に与えた熱を
とする。
をγ，
，
を用いて表せ。 問6 状態(い)における部屋A，B，Cの気体の体積を、それぞれ
，
，
とする。
：
：
を、最も簡単な整数の比で表せ。
B．X線は可視光や紫外線よりも波長の短い光であり、加速した電子を物質の表面に照射すると発生する。Ⅰ．図1のような装置を使用して、X線を発生させる場合について考える。ただし、フィラメントの電源の電圧
は、高圧電源の電圧Vに対して十分に小さい。 
陰極・陽極間に高電圧Vを加えるとX線が発生し、発生するX線の波長とその強度の関係(X線波長スペクトル)は、図2のようになる。連続X線と、特定の波長に強い強度をもつ固有X線(特性X線)が発生することがわかる。電子の質量をm，電子の電荷を
，プランク定数をh，光の速さをcとして、以下の問に答えよ。
問7 図2に示されている点Pの波長(最短波長)
をh，c，m，eおよびVのうち必要なものを用いて表せ。 
Ⅱ．図3のような原子モデルを使って、原子番号がZ (
)の原子が放出する固有X線を考える。中心に電荷
を持つ原子核があり、そのまわりを電子が等速円運動している。
軌道上の電子は、次の量子条件にしたがう。
量子条件原子内の電子は、円軌道の周の長さが物質波の波長のn倍(nは正の整数)であるときに、定常状態として安定に存在できる。
円軌道上の電子は、図3Aのように、定まった個数(
の軌道には2個、
の軌道には8個、･･･)だけ、低いエネルギー準位から状態を占めていく。同一(n番目)の軌道にある電子は、同じエネルギー準位
をもつとする(
)。円軌道にある電子には、原子核との間にクーロン力がはたらき、他の電子から力は受けないとする。ただし、
の軌道にある電子からは、より内側の軌道にある電子の数の分だけ、原子核の電荷を打ち消すように見えるため、クーロン力は補正を受ける(例えば、図3Aの
の軌道にある電子からは、原子核の電荷が
に見える)。
固有X線は、次の振動数条件にしたがって放出される。 振動数条件図3Bのように、加速された電子が原子内の電子を弾き飛ばしたとき、図3Cのように、外側の軌道の電子がより内側の軌道に移って、エネルギー準位差に対応する振動数のX線が放出される。
軌道上の電子の速さは、光の速さcより十分に遅いとして、以下の問に答えよ。
問8 図3Aの
の軌道の半径を
としたとき、クーロン力と遠心力のつり合いの関係から、
を、h，m，e，Z，真空中のクーロンの法則の比例定数
を用いて表せ。 問9 図3Aのエネルギー準位
，
を、水素原子(
)の基底状態の電子のエネルギー準位
とZのみを使ってそれぞれ表せ。ただし、クーロン力による位置エネルギーは無限遠をゼロ(基準)とする。 問10 図2に示されている固有X線の2つのピークは、図3Cのように、電子が
から
と、
から
の軌道へ移るときに放出されるX線に対応する。固有X線が放出される直前には、
の軌道にある電子の数は1個であることに注意して固有X線の波長
を、
，Z，h，cを使って表せ。 [解答へ]
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，
，
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(
，
)