大阪大学2022年前期物理入試問題

大阪大学2022年前期物理入試問題

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[1]　図1のように、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとった平面内における質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。物体Aは、x軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また、物体Aと物体Bは伸び縮みしない長さ

で質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度θ[rad]を、図1に示すように定義する。物体Aと棒の間の摩擦力は無視でき、また、物体Aおよび物体Bは質点とみなしてよい。重力加速度の大きさを

とする。

Ⅰ．まず、物体Aを棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体Bを持ち上げ、静かに離すと物体Bは振動をはじめた。このとき、以下の問に答えよ。

問1　以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。

糸の角度がθのとき、糸の張力の大きさをS，物体Bの加速度のx成分およびy成分を、それぞれ、

および

とするとき、物体Bの運動方程式は、

(a) および

(b) と表される。

問2　

が十分に小さいとき、物体Bは水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき、問1で求めた運動方程式において、

，

と近似し、振動の周期Tを求めよ。

Ⅱ．次に、物体Aを棒に沿って動かす。ただし、物体Aの加速度のx成分が、図2に示すように、

ごとに

(

)で符号が変わるように物体Aを加減速させながら動かす。ここで、Tは問2で求めた周期である。また、時刻

で糸は鉛直で、物体はいずれも静止しており、このときの物体の位置のx座標を0とする。なお、物体Bの振動の振幅は十分小さく、

は十分に小さいとしてよい。このとき、以下の問に答えよ。

問3　時刻

(nは自然数)における物体Aのx座標

を求めよ。

問4　時刻tが

の間の運動を考える(図3)。このとき、以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に示せ。

物体Aとともに動く非慣性系で物体Bに作用する慣性力の水平部分は、右向き正として (c) であるので、この非慣性系で、物体Bは初期位置から水平方向に右向きを正として、 (d) だけずれた位置を中心として、周期がTの単振動を半周期だけする。したがって、時刻

で、糸の角度θは (e) となり、この非慣性系で物体Bは静止する。ただし、角度θは図1のように定義する。

問5　時刻

(nは自然数)における糸の角度

を求めよ。

問6　物体Aが図2に示す加速度のx成分をもつためには、物体Aに重力、糸からの張力、棒からの抗力以外に、外力を作用させる必要がある。

におけるこの外力のx成分を求めよ。

Ⅲ．次に、物体Aを水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で、物体Aが静止している状態で、物体Bにx軸の正の向きに大きさ

の速度を与えたところ、糸はたるまずに、また、糸の角度θが

のある範囲で、物体Bは振動した。図4には、ある時刻における、物体Aおよび物体Bの運動の様子を点線で示す。ただし、

は微小とは限らない。このとき、以下の問に答えよ。

問7　物体Bが最高点に達したときの、物体Aの速さを求めよ。

問8　物体Bの最高点の高さを、物体Bの初期位置を基準として求めよ。

[解答へ]

[2]　図1のような回路をブリッジ回路という。いくつかのブリッジ回路に関する問題を考える。ただし、導線の電気抵抗と電源の内部抵抗は、共に無視できるほど小さいものとする。

Ⅰ．図1の回路において、抵抗1，2，3，4の抵抗値が、それぞれ

[Ω]，

[Ω]であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。

問1　抵抗1に加わる電圧の大きさ

[V]と、抵抗2に加わる電圧の大きさ

[V]の比

を、E，

，

のうち、必要なものを用いて表せ。

問2　

[Ω]を、

，

を用いて表せ。

Ⅱ．単一の抵抗に加わる電圧と流れる電流との間の関係を、電流-電圧特性という。電流-電圧特性が直線で表せない抵抗のことを非直線抵抗という。図1の回路が非直線抵抗を含む場合について考える。

図1の回路において、抵抗1は非直線抵抗X，抵抗2，3はそれぞれ抵抗値が

[Ω]，

[Ω]の抵抗、抵抗4は非直線抵抗Yであるとする。非直線抵抗Xおよび非直線抵抗Yの電流-電圧特性は未知であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。

問3　抵抗1に加わる電圧の大きさを

[V]，抵抗1を流れる電流の大きさを

[A]とする。抵抗2にオームの法則を適用することによって、

[A]を

，E，

を用いて表せ。

問4　

，

とする。このとき、以下の(a)，(b)の2つの場合について、それぞれ答えよ。

(a) 非直線抵抗Xとして、図2の(あ)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗を用いた場合を考える。このとき、

[V]，および、抵抗4に加わる電圧の大きさ

[V]を、それぞれ有効数字2桁で求めよ。

(b) 非直線抵抗Xと非直線抵抗Yとして、図2の(あ)，(い)，(う)，(え)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗のいずれかを、それぞれ用いた場合を考える。非直線抵抗Xと非直線抵抗Yの電流-電圧特性として、最も適した組み合わせを答えよ。解答においては、それぞれを(あ)，(い)，(う)，(え)から一つずつ選ぶこと(例：「X：(い)，Y：(あ)」)。なお、「X：(い)，Y：(い)」のように、XとYについて同じ選択肢を選んでもよい。

Ⅲ．さらに、図3の回路について考える。交流電源の電圧は、最大値が

[V]，角周波数がω[rad/s]であり、点ウを基準とした点アの電位は、時刻t [s]において

となる。抵抗5，6の抵抗値をR[Ω]，コンデンサの電気容量をC[F]，コイルの自己インダクタンスをL[H]とする。交流電流計は、交流電流の大きさを測定できる装置である。測定の結果、あらゆる時刻において常に、点イと点エの間には電流が流れていないことがわかった。このとき、以下の問に答えよ。なお、図3における矢印の向きを電流の正の向きとする。また、実数α，β，γ，θに対して成り立つ、以下の公式を、必要に応じて用いてよい。

　(

，

)

問5　抵抗5を流れる電流を、その最大値

[A]と、交流電源の電圧との位相差ϕを用いて、

と表す。このとき、以下の文中の空欄(a)～(d)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。ただし、(a)，(b)については

，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表し、(c)，(d)については

，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。

点ウを基準とした点イの電位は (a)

と表され、点イを基準とした点アの電位は (b)

と表される。これらの和が、交流電源の電圧

と等しい。よって、

(d) であることがわかる。

問6　コンデンサを流れる電流は

と表せる。

[A]を、

，ω，R，Cのうち必要なものを用いて表せ。

問7　C[F]を、ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。

[解答へ]

[3]　以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。

A．　図1のような固定されたシリンダー内に、なめらかに動く2つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を、左から部屋A，部屋B，部屋Cとよぶ。部屋Aと部屋Bをピストン1，部屋Bと部屋Cをピストン2が仕切る。部屋Aと部屋Cの中にあるヒーター

とヒーター

を用いて、それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー、ピストン、ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。

この装置のピストンを、外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ1モルずつ、同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を

，定圧モル比熱を

とする、気体定数をRとする。

Ⅰ．この装置を絶対温度

の環境に置いて、順番に以下の操作をする。はじめ、部屋A，B，Cの気体の体積はいずれも

であった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。

図2に、絶対温度Tが一定である1モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては、図2の斜線部の面積が

であることを用いてよい。ここでの

は、

である。e (

)は無理数であり、eを底とする対数を自然対数という。

問1　まず、ピストン2を固定した状態でピストン1を十分にゆっくりと右に動かし、部屋Aの気体の体積が

となったところでピストン1を固定した。このときの、部屋Bの気体の圧力

を、R，

，

を用いて表せ。

問2　問1の操作によってピストン1が部屋Bの気体にした仕事

を、R，

，

のうち必要なものを用いて表せ。

問3　問1で最後にピストン1を固定した状態からピストン2を十分にゆっくりと左に動かし、部屋Cの気体の体積が

となったところでピストン2を固定した。問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、以下の量を求めよ。必要であれば、R，

，

を用いてよい。

(a) 3つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和

(b) 装置から外部に放出された熱の総量Q

Ⅱ．ふたたび、各部屋の気体の体積が

，絶対温度が

である状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い、シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており、部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態(あ)とする。

まず、ヒーター

を用いて部屋Aの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(い)とする。さらに、ヒーター

を用いて部屋Cの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(う)とする。状態(う)において、部屋A，B，Cの気体の体積比は4：1：4になっていた。以下の問に答えよ。
解答にあたっては、pを理想気体の圧力、Vを理想気体の体積とすると、断熱過程において