大阪大学2022年前期物理入試問題

[1]
 図1のように、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとった平面内における質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。物体Aは、x軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また、物体Aと物体Bは伸び縮みしない長さで質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度θ[rad]を、図1に示すように定義する。物体Aと棒の間の摩擦力は無視でき、また、物体Aおよび物体Bは質点とみなしてよい。重力加速度の大きさをとする。

T.まず、物体Aを棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体Bを持ち上げ、静かに離すと物体Bは振動をはじめた。このとき、以下の問に答えよ。

1 以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
糸の角度がθのとき、糸の張力の大きさをS,物体Bの加速度のx成分およびy成分を、それぞれ、およびとするとき、物体Bの運動方程式は、 (a) および (b) と表される。
2 が十分に小さいとき、物体Bは水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき、問1で求めた運動方程式において、と近似し、振動の周期Tを求めよ。

U.次に、物体Aを棒に沿って動かす。ただし、物体Aの加速度のx成分が、図2に示すように、ごとに ()で符号が変わるように物体Aを加減速させながら動かす。ここで、Tは問2で求めた周期である。また、時刻で糸は鉛直で、物体はいずれも静止しており、このときの物体の位置のx座標を0とする。なお、物体Bの振動の振幅は十分小さく、は十分に小さいとしてよい。このとき、以下の問に答えよ。

3 時刻 (nは自然数)における物体Ax座標を求めよ。
4 時刻tの間の運動を考える(3)。このとき、以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に示せ。
物体Aとともに動く非慣性系で物体Bに作用する慣性力の水平部分は、右向き正として (c) であるので、この非慣性系で、物体Bは初期位置から水平方向に右向きを正として、 (d) だけずれた位置を中心として、周期がTの単振動を半周期だけする。したがって、時刻で、糸の角度θ (e) となり、この非慣性系で物体Bは静止する。ただし、角度θは図1のように定義する。
5 時刻 (nは自然数)における糸の角度を求めよ。
6 物体Aが図2に示す加速度のx成分をもつためには、物体Aに重力、糸からの張力、棒からの抗力以外に、外力を作用させる必要がある。におけるこの外力のx成分を求めよ。

V.次に、物体Aを水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で、物体Aが静止している状態で、物体Bx軸の正の向きに大きさの速度を与えたところ、糸はたるまずに、また、糸の角度θのある範囲で、物体Bは振動した。図4には、ある時刻における、物体Aおよび物体Bの運動の様子を点線で示す。ただし、は微小とは限らない。このとき、以下の問に答えよ。

7 物体Bが最高点に達したときの、物体Aの速さを求めよ。
8 物体Bの最高点の高さを、物体Bの初期位置を基準として求めよ。

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[2] 図1のような回路をブリッジ回路という。いくつかのブリッジ回路に関する問題を考える。ただし、導線の電気抵抗と電源の内部抵抗は、共に無視できるほど小さいものとする。

T.図1の回路において、抵抗1234の抵抗値が、それぞれ[Ω][Ω][Ω][Ω]であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。

1 抵抗1に加わる電圧の大きさ[V]と、抵抗2に加わる電圧の大きさ[V]の比を、Eのうち、必要なものを用いて表せ。
2 [Ω]を、を用いて表せ。

U.単一の抵抗に加わる電圧と流れる電流との間の関係を、電流-電圧特性という。電流-電圧特性が直線で表せない抵抗のことを非直線抵抗という。図1の回路が非直線抵抗を含む場合について考える。
1の回路において、抵抗1は非直線抵抗X,抵抗23はそれぞれ抵抗値が[Ω][Ω]の抵抗、抵抗4は非直線抵抗Yであるとする。非直線抵抗Xおよび非直線抵抗Yの電流-電圧特性は未知であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。

3 抵抗1に加わる電圧の大きさを[V],抵抗1を流れる電流の大きさを[A]とする。抵抗2にオームの法則を適用することによって、[A]Eを用いて表せ。
4 とする。このとき、以下の(a)(b)2つの場合について、それぞれ答えよ。
(a) 非直線抵抗Xとして、図2()に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗を用いた場合を考える。このとき、[V],および、抵抗4に加わる電圧の大きさ[V]を、それぞれ有効数字2桁で求めよ。
(b) 非直線抵抗Xと非直線抵抗Yとして、図2()()()()に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗のいずれかを、それぞれ用いた場合を考える。非直線抵抗Xと非直線抵抗Yの電流-電圧特性として、最も適した組み合わせを答えよ。解答においては、それぞれを()()()()から一つずつ選ぶこと(例:「X()Y())。なお、「X()Y()」のように、XYについて同じ選択肢を選んでもよい。

V.さらに、図3の回路について考える。交流電源の電圧は、最大値が[V],角周波数がω[rad/s]であり、点ウを基準とした点アの電位は、時刻t [s]においてとなる。抵抗56の抵抗値をR[Ω],コンデンサの電気容量をC[F],コイルの自己インダクタンスをL[H]とする。交流電流計は、交流電流の大きさを測定できる装置である。測定の結果、あらゆる時刻において常に、点イと点エの間には電流が流れていないことがわかった。このとき、以下の問に答えよ。なお、図3における矢印の向きを電流の正の向きとする。また、実数αβγθに対して成り立つ、以下の公式を、必要に応じて用いてよい。
 ()

5 抵抗5を流れる電流を、その最大値[A]と、交流電源の電圧との位相差ϕを用いて、と表す。このとき、以下の文中の空欄(a)(d)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。ただし、(a)(b)についてはωRLのうち必要なものを用いて表し、(c)(d)についてはωRLのうち必要なものを用いて表せ。

点ウを基準とした点イの電位は (a) と表され、点イを基準とした点アの電位は (b) と表される。これらの和が、交流電源の電圧と等しい。よって、 (c) [A] (d) であることがわかる。

6 コンデンサを流れる電流はと表せる。[A]を、ωRCのうち必要なものを用いて表せ。
7 C[F]を、ωRLのうち必要なものを用いて表せ。

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[3] 以下のABの両方の問題に解答せよ。なおABは独立した内容の問題である。

A 図1のような固定されたシリンダー内に、なめらかに動く2つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を、左から部屋A,部屋B,部屋Cとよぶ。部屋Aと部屋Bをピストン1,部屋Bと部屋Cをピストン2が仕切る。部屋Aと部屋Cの中にあるヒーターとヒーターを用いて、それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー、ピストン、ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。
この装置のピストンを、外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ1モルずつ、同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を,定圧モル比熱をとする、気体定数をRとする。
T.この装置を絶対温度の環境に置いて、順番に以下の操作をする。はじめ、部屋ABCの気体の体積はいずれもであった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。

2に、絶対温度Tが一定である1モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては、図2の斜線部の面積がであることを用いてよい。ここでのは、である。e ()は無理数であり、eを底とする対数を自然対数という。

1 まず、ピストン2を固定した状態でピストン1を十分にゆっくりと右に動かし、部屋Aの気体の体積がとなったところでピストン1を固定した。このときの、部屋Bの気体の圧力を、Rを用いて表せ。
2 問1の操作によってピストン1が部屋Bの気体にした仕事を、Rのうち必要なものを用いて表せ。
3 問1で最後にピストン1を固定した状態からピストン2を十分にゆっくりと左に動かし、部屋Cの気体の体積がとなったところでピストン2を固定した。問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、以下の量を求めよ。必要であれば、Rを用いてよい。
(a) 3つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和
(b) 装置から外部に放出された熱の総量Q

U.ふたたび、各部屋の気体の体積が,絶対温度がである状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い、シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており、部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態()とする。
まず、ヒーターを用いて部屋Aの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態()とする。さらに、ヒーターを用いて部屋Cの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態()とする。状態()において、部屋ABCの気体の体積比は414になっていた。以下の問に答えよ。
解答にあたっては、
pを理想気体の圧力、Vを理想気体の体積とすると、断熱過程においてが一定に保たれることを用いてよい。ただし、である。

4 状態()における部屋Bの気体の絶対温度を、γのうち必要なものを用いて表せ。
5 ヒーターが部屋Aの気体に与えた熱を,ヒーターが部屋Cの気体に与えた熱をとする。γを用いて表せ。
6 状態()における部屋ABCの気体の体積を、それぞれとする。を、最も簡単な整数の比で表せ。

BX線は可視光や紫外線よりも波長の短い光であり、加速した電子を物質の表面に照射すると発生する。
T.図1のような装置を使用して、X線を発生させる場合について考える。ただし、フィラメントの電源の電圧は、高圧電源の電圧Vに対して十分に小さい。
陰極・陽極間に高電圧Vを加えるとX線が発生し、発生するX線の波長とその強度の関係(X線波長スペクトル)は、図2のようになる。連続X線と、特定の波長に強い強度をもつ固有X(特性X)が発生することがわかる。電子の質量をm,電子の電荷を,プランク定数をh,光の速さをcとして、以下の問に答えよ。

7 図2に示されている点Pの波長(最短波長)hcmeおよびVのうち必要なものを用いて表せ。
U.図3のような原子モデルを使って、原子番号がZ ()の原子が放出する固有X線を考える。中心に電荷を持つ原子核があり、そのまわりを電子が等速円運動している。

軌道上の電子は、次の量子条件にしたがう。
量子条件原子内の電子は、円軌道の周の長さが物質波の波長のn(nは正の整数)であるときに、定常状態として安定に存在できる。
円軌道上の電子は、図3Aのように、定まった個数(の軌道には2個、の軌道には8個、・・・)だけ、低いエネルギー準位から状態を占めていく。同一(n番目)の軌道にある電子は、同じエネルギー準位をもつとする()。円軌道にある電子には、原子核との間にクーロン力がはたらき、他の電子から力は受けないとする。ただし、の軌道にある電子からは、より内側の軌道にある電子の数の分だけ、原子核の電荷を打ち消すように見えるため、クーロン力は補正を受ける(例えば、図3Aの軌道にある電子からは、原子核の電荷がに見える)
固有
X線は、次の振動数条件にしたがって放出される。
振動数条件3Bのように、加速された電子が原子内の電子を弾き飛ばしたとき、図3Cのように、外側の軌道の電子がより内側の軌道に移って、エネルギー準位差に対応する振動数のX線が放出される。
軌道上の電子の速さは、光の速さcより十分に遅いとして、以下の問に答えよ。

8 図3Aの軌道の半径をとしたとき、クーロン力と遠心力のつり合いの関係から、を、hmeZ,真空中のクーロンの法則の比例定数を用いて表せ。
9 図3Aのエネルギー準位を、水素原子()の基底状態の電子のエネルギー準位Zのみを使ってそれぞれ表せ。ただし、クーロン力による位置エネルギーは無限遠をゼロ(基準)とする。
10 図2に示されている固有X線の2つのピークは、図3Cのように、電子がからと、からの軌道へ移るときに放出されるX線に対応する。固有X線が放出される直前には、の軌道にある電子の数は1個であることに注意して固有X線の波長を、Zhcを使って表せ。
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