阪大物理'22年前期[1]
図1のように、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとった平面内における質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。物体Aは、x軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また、物体Aと物体Bは伸び縮みしない長さ
で質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度θ[rad]を、図1に示すように定義する。物体Aと棒の間の摩擦力は無視でき、また、物体Aおよび物体Bは質点とみなしてよい。重力加速度の大きさを
とする。
Ⅰ．まず、物体Aを棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体Bを持ち上げ、静かに離すと物体Bは振動をはじめた。このとき、以下の問に答えよ。
問1 以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
糸の角度がθのとき、糸の張力の大きさをS，物体Bの加速度のx成分およびy成分を、それぞれ、
および
とするとき、物体Bの運動方程式は、
(a) および
(b) と表される。 問2 
が十分に小さいとき、物体Bは水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき、問1で求めた運動方程式において、
，
と近似し、振動の周期Tを求めよ。
Ⅱ．次に、物体Aを棒に沿って動かす。ただし、物体Aの加速度のx成分が、図2に示すように、
ごとに
(
)で符号が変わるように物体Aを加減速させながら動かす。ここで、Tは問2で求めた周期である。また、時刻
で糸は鉛直で、物体はいずれも静止しており、このときの物体の位置のx座標を0とする。なお、物体Bの振動の振幅は十分小さく、
は十分に小さいとしてよい。このとき、以下の問に答えよ。
問3 時刻
(nは自然数)における物体Aのx座標
を求めよ。 問4 時刻t が
の間の運動を考える(図3)。このとき、以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に示せ。 物体Aとともに動く非慣性系で物体Bに作用する慣性力の水平部分は、右向き正として (c) であるので、この非慣性系で、物体Bは初期位置から水平方向に右向きを正として、 (d) だけずれた位置を中心として、周期がTの単振動を半周期だけする。したがって、時刻
で、糸の角度θは (e) となり、この非慣性系で物体Bは静止する。ただし、角度θは図1のように定義する。 問5 時刻
(nは自然数)における糸の角度
を求めよ。 問6 物体Aが図2に示す加速度のx成分をもつためには、物体Aに重力、糸からの張力、棒からの抗力以外に、外力を作用させる必要がある。
におけるこの外力のx成分を求めよ。
Ⅲ．次に、物体Aを水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で、物体Aが静止している状態で、物体Bにx軸の正の向きに大きさ
の速度を与えたところ、糸はたるまずに、また、糸の角度θが
のある範囲で、物体Bは振動した。図4には、ある時刻における、物体Aおよび物体Bの運動の様子を点線で示す。ただし、
は微小とは限らない。このとき、以下の問に答えよ。
問7 物体Bが最高点に達したときの、物体Aの速さを求めよ。
問8 物体Bの最高点の高さを、物体Bの初期位置を基準として求めよ。
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解答 相対運動がテーマの難問です。
Ⅰ．問1 物体Bに働く張力Sのx成分は、θの符号も考慮して、
，y成分は
，y方向には鉛直下向きの重力
も働きます。 物体Bの運動方程式は、x方向について、
･･･①y方向について、
･･･②
......[(a)]，
......[(b)]
問2 ②で
として、
･･･③ ①で
(xとθの正負は一致します)として、 
∴ 
これより物体Bは、角振動数
の単振動をします。
振動の周期Tは、
......[答]
Ⅱ．問3 
において、加速度αの等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、物体Aのx座標は、
，物体Aの速度は、
，
においては
，
において、加速度
の等加速度運動で、
において
，速度
なので、物体Aのx座標、速度は、
，
，
においては、
，
物体Aは時間Tの間に
進みます。これをn回繰り返した後、時刻
における物体Aのx座標
は、
......[答]
問4 加速度αの物体Aとともに動く非慣性系で考えます(相対運動を参照)。物体Bに働く慣性力の水平成分は、
......[(c)] 
は十分に小さいので③と同様に
，水平方向に働く力は、慣性力、及び、張力の水平方向成分
で、加速度のx成分を
として、物体Bの水平方向の運動方程式は、これは問2と同じ角振動数(同じ周期)で、振動中心
の単振動を表します。
......[(d)]
に振動端
に位置し、
周期後に振動中心にいたので、単振動の振幅は
です。
(半周期後)には、反対側の振動端
･･･④ に来ます。
が十分に小さいので、このときの糸の角度は、
......[(e)]
問5 
においては、物体Aの加速度の符号が変化し、物体Bが受ける慣性力の向きも変化します。物体Aとともに動く非慣性系で、物体Bの水平方向の運動方程式は、 これは問2と同じ周期で、振動中心
の単振動を表します。物体Bは、④より
において振動端
にいたので、ここでの単振動の振幅は、
となり、
において反対側の振動端
に来ます。
以後同様の運動を繰り返し、周期Tごとに
ずつ、x軸正方向に来るようになります。
(n：自然数)における糸の角度は、
は十分に小さいので、 
......[答]
問6 物体Aに働く重力、棒からの抗力は、摩擦を無視するのでx方向の運動には寄与しません。物体Aが受ける糸の張力はSです。Sのx方向成分は、符号も考慮して
です(作用反作用の法則により、物体Bが受ける張力と符号が逆)。 
は、
なので、問4の結果を使って考えます。物体Aから見て物体Bは
を振動中心とする振幅
の単振動をするので、物体Aから見た物体Bのx座標は、角振動数をωとして、
のとき
より、
，糸の角度(単振動の位相と混同しないように注意してください)は、
これより、物体Aが受ける張力のx方向成分は
です。外力のx成分を
とすると、物体Aの運動方程式は、
∴ 
.....[答]
Ⅲ．問7 物体Bが最高点に達したとき、物体Aから見て物体Bは静止します。つまり、外から見ると、物体Aと物体Bの速度が一致します(相対速度を参照)。この速度(x方向を向きます)の大きさをvとして、運動量保存より、 
∴ 
......[答]
問7の結果を代入すると、
∴ 
......[答]
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