阪大物理'22年前期[1]

1のように、水平方向にx軸、鉛直上向きにy軸をとった平面内における質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。物体Aは、x軸に平行に固定された棒に沿って滑らかに動くことができる。また、物体Aと物体Bは伸び縮みしない長さで質量の無視できる糸でつながれている。糸と鉛直方向とのなす角度θ[rad]を、図1に示すように定義する。物体Aと棒の間の摩擦力は無視でき、また、物体Aおよび物体Bは質点とみなしてよい。重力加速度の大きさをとする。

T.まず、物体Aを棒の一点に動かないように固定する。糸がたるまないように物体Bを持ち上げ、静かに離すと物体Bは振動をはじめた。このとき、以下の問に答えよ。

1 以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
糸の角度がθのとき、糸の張力の大きさをS,物体Bの加速度のx成分およびy成分を、それぞれ、およびとするとき、物体Bの運動方程式は、 (a) および (b) と表される。
2 が十分に小さいとき、物体Bは水平方向にのみ運動すると考えてよい。このとき、問1で求めた運動方程式において、と近似し、振動の周期Tを求めよ。

U.次に、物体Aを棒に沿って動かす。ただし、物体Aの加速度のx成分が、図2に示すように、ごとに ()で符号が変わるように物体Aを加減速させながら動かす。ここで、Tは問2で求めた周期である。また、時刻で糸は鉛直で、物体はいずれも静止しており、このときの物体の位置のx座標を0とする。なお、物体Bの振動の振幅は十分小さく、は十分に小さいとしてよい。このとき、以下の問に答えよ。

3 時刻 (nは自然数)における物体Ax座標を求めよ。
4 時刻tの間の運動を考える(3)。このとき、以下の文中の空欄に入れるべき数式を解答欄に示せ。
物体Aとともに動く非慣性系で物体Bに作用する慣性力の水平部分は、右向き正として (c) であるので、この非慣性系で、物体Bは初期位置から水平方向に右向きを正として、 (d) だけずれた位置を中心として、周期がTの単振動を半周期だけする。したがって、時刻で、糸の角度θ (e) となり、この非慣性系で物体Bは静止する。ただし、角度θは図1のように定義する。
5 時刻 (nは自然数)における糸の角度を求めよ。
6 物体Aが図2に示す加速度のx成分をもつためには、物体Aに重力、糸からの張力、棒からの抗力以外に、外力を作用させる必要がある。におけるこの外力のx成分を求めよ。

V.次に、物体Aを水平な棒に沿って自由に動けるようにする。糸が鉛直で、物体Aが静止している状態で、物体Bx軸の正の向きに大きさの速度を与えたところ、糸はたるまずに、また、糸の角度θのある範囲で、物体Bは振動した。図4には、ある時刻における、物体Aおよび物体Bの運動の様子を点線で示す。ただし、は微小とは限らない。このとき、以下の問に答えよ。

7 物体Bが最高点に達したときの、物体Aの速さを求めよ。
8 物体Bの最高点の高さを、物体Bの初期位置を基準として求めよ。


解答 相対運動がテーマの難問です。

T.問1 物体Bに働く張力Sx成分は、θの符号も考慮して、y成分はy方向には鉛直下向きの重力も働きます。
物体Bの運動方程式は、x方向について、 ・・・@
y方向について、 ・・・A
......[(a)] ......[(b)]

2  (xθの正負は一致します)として ・・・B
@より、 ∴
これより物体Bは、角振動数の単振動をします。
振動の周期
Tは、 ......[]

U.問3 において、加速度αの等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、物体Ax座標は、,物体Aの速度は、においては
において、加速度の等加速度運動で、において,速度なので、物体Ax座標、速度は、においては、
物体
Aは時間Tの間に進みます。これをn回繰り返した後、時刻における物体Ax座標は、 ......[]

4 加速度αの物体Aから見ると、物体Bに働く慣性力の水平成分は、 ......[(c)]
は十分に小さいのでBと同様に,水平方向に働く力は、慣性力、及び、張力の水平方向成分で、加速度のx成分をとして、物体Bの水平方向の運動方程式は、

これは問2と同じ角振動数(同じ周期)で、振動中心の単振動を表します。 ......[(d)]
に振動端に位置し、周期後に振動中心にいたので、単振動の振幅はです。(半周期後)には、反対側の振動端 ・・・C に来ます。が十分に小さいので、このときの糸の角度は、 ......[(e)]

5 においては、物体Aの加速度の符号が変化し、物体Bが受ける慣性力の向きも変化します。物体Bの水平方向の運動方程式は、

これは問2と同じ周期で、振動中心の単振動を表します。物体Bは、Cよりにおいて振動端にいたので、ここでの単振動の振幅は、となり、において反対側の振動端に来ます。
以後同様の運動を繰り返し、周期
Tごとにずつ、x軸正方向に来るようになります。
(n:自然数)における糸の角度は、は十分に小さいので、
......[]

6 物体Aに働く重力、棒からの抗力は摩擦を無視するのでx方向の運動には寄与しません。物体Aが受ける糸の張力はSです。Sx方向成分は、符号も考慮してです(作用反作用の法則により、物体Bが受ける張力と符号が逆)
は、なので、問4より、物体Aから見て物体Bを振動中心とする振幅の単振動をするので、物体Aから見た物体Bx座標は、角振動数をωとして、
のときより、,糸の角度(単振動の位相と混同しないように注意してください)は、
これより、物体
Aが受ける張力のx方向成分はです。外力のx成分をとすると、物体Aの運動方程式は、
 ∴ .....[]

V.問7 物体Bが最高点に達したとき、物体Aから見て物体Bは静止します。つまり、外から見ると、物体Aと物体Bの速度が一致します。この速度(x方向を向きます)の大きさをvとして、運動量保存より、
 ∴ ......[]

8 最高点の高さをhとして、力学的エネルギー保存より、
7の結果を代入すると、

......[]



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