阪大物理'22年前期[3]

阪大物理'22年前期[3]

以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。

A．　図1のような固定されたシリンダー内に、なめらかに動く2つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を、左から部屋A，部屋B，部屋Cとよぶ。部屋Aと部屋Bをピストン1，部屋Bと部屋Cをピストン2が仕切る。部屋Aと部屋Cの中にあるヒーター

とヒーター

を用いて、それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー、ピストン、ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。

この装置のピストンを、外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ1モルずつ、同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を

，定圧モル比熱を

とする、気体定数をRとする。

Ⅰ．この装置を絶対温度

の環境に置いて、順番に以下の操作をする。はじめ、部屋A，B，Cの気体の体積はいずれも

であった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。

図2に、絶対温度Tが一定である1モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては、図2の斜線部の面積が

であることを用いてよい。ここでの

は、

である。e (

)は無理数であり、eを底とする対数を自然対数という。

問1　まず、ピストン2を固定した状態でピストン1を十分にゆっくりと右に動かし、部屋Aの気体の体積が

となったところでピストン1を固定した。このときの、部屋Bの気体の圧力

を、R，

，

を用いて表せ。

問2　問1の操作によってピストン1が部屋Bの気体にした仕事

を、R，

，

のうち必要なものを用いて表せ。

問3　問1で最後にピストン1を固定した状態からピストン2を十分にゆっくりと左に動かし、部屋Cの気体の体積が

となったところでピストン2を固定した。問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、以下の量を求めよ。必要であれば、R，

，

を用いてよい。

(a) 3つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和

(b) 装置から外部に放出された熱の総量Q

Ⅱ．ふたたび、各部屋の気体の体積が

，絶対温度が

である状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い、シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており、部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態(あ)とする。

まず、ヒーター

を用いて部屋Aの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(い)とする。さらに、ヒーター

を用いて部屋Cの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態(う)とする。状態(う)において、部屋A，B，Cの気体の体積比は4：1：4になっていた。以下の問に答えよ。
解答にあたっては、pを理想気体の圧力、Vを理想気体の体積とすると、断熱過程において

が一定に保たれることを用いてよい。ただし、

である。

問4　状態(う)における部屋Bの気体の絶対温度

を、γ，

のうち必要なものを用いて表せ。

問5　ヒーター

が部屋Aの気体に与えた熱を

，ヒーター

が部屋Cの気体に与えた熱を

とする。

をγ，

，

を用いて表せ。

問6　状態(い)における部屋A，B，Cの気体の体積を、それぞれ

，

とする。

：

を、最も簡単な整数の比で表せ。

B．X線は可視光や紫外線よりも波長の短い光であり、加速した電子を物質の表面に照射すると発生する。

Ⅰ．図1のような装置を使用して、X線を発生させる場合について考える。ただし、フィラメントの電源の電圧

は、高圧電源の電圧Vに対して十分に小さい。

陰極・陽極間に高電圧Vを加えるとX線が発生し、発生するX線の波長とその強度の関係(X線波長スペクトル)は、図2のようになる。連続X線と、特定の波長に強い強度をもつ固有X線(特性X線)が発生することがわかる。電子の質量をm，電子の電荷を

，プランク定数をh，光の速さをcとして、以下の問に答えよ。

問7　図2に示されている点Pの波長(最短波長)

をh，c，m，eおよびVのうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ．図3のような原子モデルを使って、原子番号がZ (

)の原子が放出する固有X線を考える。中心に電荷

を持つ原子核があり、そのまわりを電子が等速円運動している。

軌道上の電子は、次の量子条件にしたがう。

量子条件原子内の電子は、円軌道の周の長さが物質波の波長のn倍(nは正の整数)であるときに、定常状態として安定に存在できる。

円軌道上の電子は、図3Aのように、定まった個数(

の軌道には2個、

の軌道には8個、･･･)だけ、低いエネルギー準位から状態を占めていく。同一(n番目)の軌道にある電子は、同じエネルギー準位

をもつとする(

)。円軌道にある電子には、原子核との間にクーロン力がはたらき、他の電子から力は受けないとする。ただし、

の軌道にある電子からは、より内側の軌道にある電子の数の分だけ、原子核の電荷を打ち消すように見えるため、クーロン力は補正を受ける(例えば、図3Aの

の軌道にある電子からは、原子核の電荷が

に見える)。
固有X線は、次の振動数条件にしたがって放出される。

振動数条件図3Bのように、加速された電子が原子内の電子を弾き飛ばしたとき、図3Cのように、外側の軌道の電子がより内側の軌道に移って、エネルギー準位差に対応する振動数のX線が放出される。

軌道上の電子の速さは、光の速さcより十分に遅いとして、以下の問に答えよ。

問8　図3Aの

の軌道の半径を

としたとき、クーロン力と遠心力のつり合いの関係から、

を、h，m，e，Z，真空中のクーロンの法則の比例定数

を用いて表せ。

問9　図3Aのエネルギー準位

，

を、水素原子(

)の基底状態の電子のエネルギー準位

とZのみを使ってそれぞれ表せ。ただし、クーロン力による位置エネルギーは無限遠をゼロ(基準)とする。

問10　図2に示されている固有X線の2つのピークは、図3Cのように、電子が

から

と、

から

の軌道へ移るときに放出されるX線に対応する。固有X線が放出される直前には、

の軌道にある電子の数は1個であることに注意して固有X線の波長

を、

，Z，h，cを使って表せ。

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解答　A．B．どちらの問題も時間をかけてゆっくり考えるのであれば興味深い問題なのですが、複雑すぎて、問題文に親切なヒントがあるとは言っても、入試問題としては無理です。試験会場では、時間が許す限り取り組んで深入りしない方が賢明です。

A．Ⅰ．部屋A，B，Cの圧力を

として、はじめの状態の状態方程式は、

　･･･①

∴　

　･･･②

絶対温度

は変わらないので、問1，問2，問3は等温変化です。

問1　操作後の部屋Bの圧力を

とすると、部屋Bの体積は

なので、状態方程式は、

　･･･③

③÷①より、

，②を用いて、

......[答]

問2　温度

で、部屋Bの体積は

から

まで変化するので図2の斜線部の面積のヒントから、ピストン1が部屋Bの気体にした仕事、即ち、部屋Bの気体がされた仕事

は、

......[答]　･･･④

温度

で部屋Aの体積は

から

まで変わるので、部屋Aの気体がした仕事は、

　･･･⑤

問3　ピストン2を動かしている間に、温度

で部屋Cの体積は

から

まで変わるので、部屋Cの気体がした仕事は、

　･･･⑥

この間に部屋Bの体積は

から

まで変わるので、部屋Bの気体がした仕事は、

　･･･⑦
④，⑤，⑥，⑦より、問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、装置内の気体のした仕事の総和Wは、

　･･･⑧

(a) 問1の操作を始める前からここにいたるまで、温度一定なので、内部エネルギーの変化はありません。

......[答]

(b) 装置から外部に放出された熱量がQなので、装置内の気体が吸収した熱は

です。熱力学第1法則より、

，⑧と(a)の結果より、

......[答]

Ⅱ．(注意：式が多いため、式の番号をⅠ．とⅡ．で独立につけます)状態(あ)では、各部屋の体積は

，温度は

で、2つのピストンは固定されていないので、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これを

とします。各部屋の状態方程式は、

　･･･①

状態(い)では状態(あ)と同じく、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これを

とします。部屋Aの体積を

とし、また、部屋B，部屋Cは同一の状態で、これらの体積を

，温度を

とします。
状態(い)における部屋Aの状態方程式：

　･･･②
状態(い)における部屋B，部屋Cの状態方程式：

　･･･③
断熱過程では

が一定(ポアッソンの関係式)に保たれるというヒントにより、(あ)から(い)まで、部屋B，部屋Cは断熱変化をするので、

　･･･④
状態(う)では、部屋A，B，Cの体積比が4：1：4なので、部屋A，Cの体積は

，部屋Bの体積は

です。この状態でも、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これを

とします。部屋A，B，Cの温度を

，

とします。
状態(う)における部屋Aの状態方程式：

　･･･⑤
状態(う)における部屋Bの状態方程式：

　･･･⑥
状態(う)における部屋Cの状態方程式：

　･･･⑦
部屋Aは断熱変化をするので、ポアッソンの関係式より、

　･･･⑧

部屋Bは断熱変化をするので、ポアッソンの関係式より、

　･･･⑨

⑤，⑦より、

　･･･⑩
⑥÷⑤より、

　∴

　･･･⑪
④，⑨より、

　∴

　･･･⑫

問4　⑫を⑥に代入して、

　･･･⑬

⑬÷①より、

　∴

......[答]

問5　⑩，⑪より、

状態(あ)から状態(う)まで、部屋A，Cの気体の内部エネルギーの変化

，

は、

問4の結果を用いて、部屋Bの気体の内部エネルギーの変化

は、

状態(あ)から状態(う)まで、装置内の気体の内部エネルギーの変化の総和は、

　･･･⑭

装置全体では、気体の総体積に変化はなく、装置内の気体が外部にした仕事は0

よって、熱力学第1法則より、ヒーターが装置内の気体に与えた熱、即ち装置内の気体が吸収した熱は、⑭より、

......[答]

問6　⑧÷⑨より、

　∴

状態(い)において、部屋B，部屋Cの体積は等しく

で、

：

= 4：1：1 .......[答]

B．Ⅰ．問7　電子が陰極陽極間の電圧Vによって得るエネルギーは

，X線の光子1個のエネルギーは、光波の振動数をνとして、

より、

　∴

......[答]

Ⅱ．問8　

の状況のみが問われているのですが、

の場合の

(

)，

の場合の

，

の場合の

も調べる必要があるので、まとめて考えることにします。

の軌道の半径を

，電子が軌道を周回する速さを

とします。

の軌道上の電子にとって、

(水素)の場合を含めて、原子核の電荷は

です。

の軌道上の電子から、原子核の電荷は

であるように見えます。

の軌道上の電子から、原子核の電荷は

であるように見えます。

の軌道上の電子が原子核の電荷から受けるクーロン力は、

です。電子の速さをvとして、遠心力は

です。これらのつりあいより、

　･･･①

　･･･②

の軌道上の電子に付随する電子波の波長を

として、量子条件より、

，

　∴

②に代入して、

　∴

　･･･③　(ボーアの原子模型を参照)
これより、

......[答]

問9　①より、

の軌道上の電子の運動エネルギーは、

無限遠をゼロとして、電子の位置エネルギーは、

電子のエネルギー準位は、

　･･･④
③で

として、

ここで

として、水素原子の軌道半径

は、

　･･･⑤

また、④より、

ここで、水素原子(

)の基底状態(

)の電子のエネルギー準位

は、

，

として、

　･･･⑥

③で

とし、⑤を用いて、

これと④，⑥より、

∴

......[答]

③で

とし、⑤を用いて、

これと④，⑥より、

∴

......[答]

問10　問題文のヒントですが、

の軌道にある電子の数が1個と考えるということは、

，

，遷移後については

として考えるということです。

問8，問9の検討内容で、

(∵ ⑤)

(∵ ⑥)

(∵ ③，⑤)

(∵ ③)

固有X線が発生するときのエネルギー遷移は、図3Cの

，

を考えます。固有X線の波長をλとして、固有X線光子のエネルギーは、

，あるいは、

で与えられますが、図2において

なので、

より、波長が

となるのはエネルギー差の小さい方

で、

∴

......[答]

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