阪大物理'22年前期[3]

以下のABの両方の問題に解答せよ。なおABは独立した内容の問題である。

A 図1のような固定されたシリンダー内に、なめらかに動く2つのピストンがある。ピストンで仕切られたシリンダー内の各領域を、左から部屋A,部屋B,部屋Cとよぶ。部屋Aと部屋Bをピストン1,部屋Bと部屋Cをピストン2が仕切る。部屋Aと部屋Cの中にあるヒーターとヒーターを用いて、それぞれの部屋の内部にある気体を加熱することができる。シリンダー、ピストン、ヒーターをあわせて装置とよぶことにする。装置の熱容量は無視できる。
この装置のピストンを、外部から動かしたり固定したりすることができる。ピストンがヒーターにぶつからない範囲で動く場合について考える。各部屋にはそれぞれ1モルずつ、同一の理想気体が入っている。この理想気体の定積モル比熱を,定圧モル比熱をとする、気体定数をRとする。
T.この装置を絶対温度の環境に置いて、順番に以下の操作をする。はじめ、部屋ABCの気体の体積はいずれもであった。装置は外部に熱を通すものとする。以下の問に答えよ。

2に、絶対温度Tが一定である1モルの理想気体の圧力と体積の関係を示す。解答にあたっては、図2の斜線部の面積がであることを用いてよい。ここでのは、である。e ()は無理数であり、eを底とする対数を自然対数という。

1 まず、ピストン2を固定した状態でピストン1を十分にゆっくりと右に動かし、部屋Aの気体の体積がとなったところでピストン1を固定した。このときの、部屋Bの気体の圧力を、Rを用いて表せ。
2 問1の操作によってピストン1が部屋Bの気体にした仕事を、Rのうち必要なものを用いて表せ。
3 問1で最後にピストン1を固定した状態からピストン2を十分にゆっくりと左に動かし、部屋Cの気体の体積がとなったところでピストン2を固定した。問1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、以下の量を求めよ。必要であれば、Rを用いてよい。
(a) 3つの部屋内にある気体の内部エネルギーの増加量の総和
(b) 装置から外部に放出された熱の総量Q

U.ふたたび、各部屋の気体の体積が,絶対温度がである状態から操作を始める。これ以降は装置を断熱材で覆い、シリンダーの外壁を通した外部との熱のやりとりが起きないものとする。2つのピストンは固定されていない。ピストンは熱を通さない素材でできており、部屋の間での熱のやりとりはないものとする。このときの装置と気体の状態を状態()とする。
まず、ヒーターを用いて部屋Aの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態()とする。さらに、ヒーターを用いて部屋Cの気体をゆっくりと加熱したところ、2つのピストンがゆっくりと動き始めた。加熱をやめてから十分に時間が経ち、2つのピストンが静止したときの装置と気体の状態を、状態()とする。状態()において、部屋ABCの気体の体積比は414になっていた。以下の問に答えよ。
解答にあたっては、
pを理想気体の圧力、Vを理想気体の体積とすると、断熱過程においてが一定に保たれることを用いてよい。ただし、である。

4 状態()における部屋Bの気体の絶対温度を、γのうち必要なものを用いて表せ。
5 ヒーターが部屋Aの気体に与えた熱を,ヒーターが部屋Cの気体に与えた熱をとする。γを用いて表せ。
6 状態()における部屋ABCの気体の体積を、それぞれとする。を、最も簡単な整数の比で表せ。

BX線は可視光や紫外線よりも波長の短い光であり、加速した電子を物質の表面に照射すると発生する。
T.図1のような装置を使用して、X線を発生させる場合について考える。ただし、フィラメントの電源の電圧は、高圧電源の電圧Vに対して十分に小さい。
陰極・陽極間に高電圧Vを加えるとX線が発生し、発生するX線の波長とその強度の関係(X線波長スペクトル)は、図2のようになる。連続X線と、特定の波長に強い強度をもつ固有X(特性X)が発生することがわかる。電子の質量をm,電子の電荷を,プランク定数をh,光の速さをcとして、以下の問に答えよ。

7 図2に示されている点Pの波長(最短波長)hcmeおよびVのうち必要なものを用いて表せ。
U.図3のような原子モデルを使って、原子番号がZ ()の原子が放出する固有X線を考える。中心に電荷を持つ原子核があり、そのまわりを電子が等速円運動している。

軌道上の電子は、次の量子条件にしたがう。
量子条件原子内の電子は、円軌道の周の長さが物質波の波長のn(nは正の整数)であるときに、定常状態として安定に存在できる。
円軌道上の電子は、図3Aのように、定まった個数(の軌道には2個、の軌道には8個、・・・)だけ、低いエネルギー準位から状態を占めていく。同一(n番目)の軌道にある電子は、同じエネルギー準位をもつとする()。円軌道にある電子には、原子核との間にクーロン力がはたらき、他の電子から力は受けないとする。ただし、の軌道にある電子からは、より内側の軌道にある電子の数の分だけ、原子核の電荷を打ち消すように見えるため、クーロン力は補正を受ける(例えば、図3Aの軌道にある電子からは、原子核の電荷がに見える)
固有
X線は、次の振動数条件にしたがって放出される。
振動数条件3Bのように、加速された電子が原子内の電子を弾き飛ばしたとき、図3Cのように、外側の軌道の電子がより内側の軌道に移って、エネルギー準位差に対応する振動数のX線が放出される。
軌道上の電子の速さは、光の速さcより十分に遅いとして、以下の問に答えよ。

8 図3Aの軌道の半径をとしたとき、クーロン力と遠心力のつり合いの関係から、を、hmeZ,真空中のクーロンの法則の比例定数を用いて表せ。
9 図3Aのエネルギー準位を、水素原子()の基底状態の電子のエネルギー準位Zのみを使ってそれぞれ表せ。ただし、クーロン力による位置エネルギーは無限遠をゼロ(基準)とする。
10 図2に示されている固有X線の2つのピークは、図3Cのように、電子がからと、からの軌道へ移るときに放出されるX線に対応する。固有X線が放出される直前には、の軌道にある電子の数は1個であることに注意して固有X線の波長を、Zhcを使って表せ。


解答 AB.どちらの問題も時間をかけてゆっくり考えるのであれば興味深い問題なのですが、複雑すぎて、問題文に親切なヒントがあるとは言っても、入試問題としては無理です。試験会場では、時間が許す限り取り組んで深入りしない方が賢明です。

A.T.部屋ABCの圧力をとして、状態方程式は、 ・・・@
∴  ・・・A
絶対温度は変わらないので、問1,問2,問3は等温変化です。

1 操作後の部屋Bの圧力をとすると、部屋Bの体積はなので、状態方程式は、 ・・・B
B÷@より、,Aを用いて、 ......[]

2 温度で、部屋Bの体積はからまで変化するので図2の斜線部の面積のヒントから、ピストン1が部屋Bの気体にした仕事、即ち、部屋Bの気体がされた仕事は、
......[] ・・・C
温度で部屋Aの体積はからまで変わるので、部屋Aの気体がした仕事は、 ・・・D

3 ピストン2を動かしている間に、温度で部屋Cの体積はからまで変わるので、部屋Cの気体がした仕事は、
 ・・・E
この間に部屋Bの体積はからまで変わるので、部屋Bの気体がした仕事は、 ・・・F
C,D,E,Fより、問
1の操作を始める前からここにいたるまでの変化について、装置内の気体のした仕事の総和Wは、
 ・・・G
(a) 1の操作を始める前からここにいたるまで、温度一定なので、内部エネルギーの変化はありません。 ......[]
(b) 装置から外部に放出された熱量がQなので、装置内の気体が吸収した熱はです。熱力学第1法則より、,Gと(a)の結果より、
......[]

U.(注意:式が多いため、式の番号をT.とU.で独立につけます)状態()では、各部屋の体積は,温度はで、2つのピストンは固定されていないので、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これをとします。各部屋の状態方程式は、
 ・・・@
状態()では状態()と同じく、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これをとします。部屋Aの体積をとし、また、部屋B,部屋Cは同一の状態で、これらの体積を,温度をとします。
状態
()における部屋Aの状態方程式: ・・・A
状態
()における部屋B,部屋Cの状態方程式: ・・・B
断熱過程ではが一定
(ポアッソンの関係式)に保たれるというヒントにより、()から()まで、部屋B,部屋Cは断熱変化をするので、 ・・・C
状態
()では、部屋ABCの体積比が414なので、部屋ACの体積は,部屋Bの体積はです。この状態でも、ピストンに働く力のつりあいより、各部屋の圧力は等しく、これをとします。部屋ABCの温度をとします。
状態
()における部屋Aの状態方程式: ・・・D
状態
()における部屋Bの状態方程式: ・・・E
状態
()における部屋Cの状態方程式: ・・・F
部屋
Aは断熱変化をするので、ポアッソンの関係式より、 ・・・G
部屋
Bは断熱変化をするので、ポアッソンの関係式より、 ・・・H
D,Fより、 ・・・I
E÷Dより、 ∴
 ・・・J
C,Hより、 ∴
 ・・・K

4 KをEに代入して、 ・・・L
L÷@より、 ∴ ......[]

5 I,Jより、
状態()から状態()まで、部屋ACの気体の内部エネルギーの変化は、
4の結果を用いて、部屋Bの気体の内部エネルギーの変化は、
状態
()から状態()まで、装置内の気体の内部エネルギーの変化の総和は、
......[]
装置全体では、気体の総体積に変化はなく、装置内の気体が外部にした仕事は0
よって、熱力学第1法則より、ヒーターが装置内の気体に与えた熱、即ち装置内の気体が吸収した熱は、
......[]

6 G÷Hより、 ∴
よって、== 411 .......[]

B.T.問7 電子が陰極陽極間の電圧Vによって得るエネルギーはX線の光子1個のエネルギーは、光波の振動数をνとして、より、
 ∴ ......[]

U.問8 の状況のみが問われているのですが、の場合の ()の場合のの場合のも調べる必要があるので、まとめて考えることにします。の軌道の半径を,電子が軌道を周回する速さをとします。
の軌道上の電子にとって、(水素)の場合を含めて、原子核の電荷はです。
の軌道上の電子から、原子核の電荷はであるように見えます。
の軌道上の電子から、原子核の電荷はであるように見えます。
の軌道上の電子が原子核の電荷から受けるクーロン力は、です。電子の速さを
vとして、遠心力はです。これらのつりあいより、
 ・・・@
 ・・・A
の軌道上の電子に付随する電子波の波長をとして、量子条件より、 ∴
Aに代入して、 ∴  ・・・B
これより、
......[]

9 @より、の軌道上の電子の運動エネルギーは、
無限遠をゼロとして、電子の位置エネルギーは、
電子のエネルギー準位は、 ・・・C
Bでとして、
ここでとして、水素原子の軌道半径は、
 ・・・D
また、Cより、
ここで、水素原子()の基底状態()の電子のエネルギー準位は、として、
 ・・・E
Bでとし、Dを用いて、
これとC,Eより、
 ∴ ......[]
Bでとし、Dを用いて、
これとC,Eより、
 ∴ ......[]

10 問題文のヒントですが、の軌道にある電子の数が1個と考えるということは、,遷移後についてはとして考えるということです。
8,問9の検討内容で、
( D)
(
E)
(
B,D)

(
B)
固有X線が発生するときのエネルギー遷移は、図3Cを考えます。固有X線の波長をλとして、固有X線光子のエネルギーは、,あるいは、で与えられますが、図2においてなので、より、波長がとなるのはエネルギー差の小さい方で、
......[]



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