阪大物理'22年前期[2]
図1のような回路をブリッジ回路という。いくつかのブリッジ回路に関する問題を考える。ただし、導線の電気抵抗と電源の内部抵抗は、共に無視できるほど小さいものとする。
Ⅰ．図1の回路において、抵抗1，2，3，4の抵抗値が、それぞれ
[Ω]，
[Ω]，
[Ω]，
[Ω]であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。
問1 抵抗1に加わる電圧の大きさ
[V]と、抵抗2に加わる電圧の大きさ
[V]の比
を、E，
，
，
のうち、必要なものを用いて表せ。
Ⅱ．単一の抵抗に加わる電圧と流れる電流との間の関係を、電流-電圧特性という。電流-電圧特性が直線で表せない抵抗のことを非直線抵抗という。図1の回路が非直線抵抗を含む場合について考える。
図1の回路において、抵抗1は非直線抵抗X，抵抗2，3はそれぞれ抵抗値が
[Ω]，
[Ω]の抵抗、抵抗4は非直線抵抗Yであるとする。非直線抵抗Xおよび非直線抵抗Yの電流-電圧特性は未知であるとする。検流計Gに電流は流れていないものとする。直流電源の電圧の大きさをE[V]とする。このとき、以下の問に答えよ。
問3 抵抗1に加わる電圧の大きさを
[V]，抵抗1を流れる電流の大きさを
[A]とする。抵抗2にオームの法則を適用することによって、
[A]を
，E，
を用いて表せ。 問4 
，
，
とする。このとき、以下の(a)，(b)の2つの場合について、それぞれ答えよ。 (a) 非直線抵抗Xとして、図2の(あ)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗を用いた場合を考える。このとき、
[V]，および、抵抗4に加わる電圧の大きさ
[V]を、それぞれ有効数字2桁で求めよ。 (b) 非直線抵抗Xと非直線抵抗Yとして、図2の(あ)，(い)，(う)，(え)に示される電流-電圧特性を持つ非直線抵抗のいずれかを、それぞれ用いた場合を考える。非直線抵抗Xと非直線抵抗Yの電流-電圧特性として、最も適した組み合わせを答えよ。解答においては、それぞれを(あ)，(い)，(う)，(え)から一つずつ選ぶこと(例：「X：(い)，Y：(あ)」)。なお、「X：(い)，Y：(い)」のように、XとYについて同じ選択肢を選んでもよい。
Ⅲ．さらに、図3の回路について考える。交流電源の電圧は、最大値が
[V]，角周波数がω[rad/s]であり、点ウを基準とした点アの電位は、時刻t [s]において
となる。抵抗5，6の抵抗値をR[Ω]，コンデンサの電気容量をC[F]，コイルの自己インダクタンスをL[H]とする。交流電流計は、交流電流の大きさを測定できる装置である。測定の結果、あらゆる時刻において常に、点イと点エの間には電流が流れていないことがわかった。このとき、以下の問に答えよ。なお、図3における矢印の向きを電流の正の向きとする。また、実数α，β，γ，θに対して成り立つ、以下の公式を、必要に応じて用いてよい。
問5 抵抗5を流れる電流を、その最大値
[A]と、交流電源の電圧との位相差ϕを用いて、
と表す。このとき、以下の文中の空欄(a)～(d)に入るべき数式を解答欄に記入せよ。ただし、(a)，(b)については
，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表し、(c)，(d)については
，ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。
点ウを基準とした点イの電位は (a) 
と表され、点イを基準とした点アの電位は (b) 
と表される。これらの和が、交流電源の電圧
と等しい。よって、
(c) [A]，
(d) であることがわかる。
問6 コンデンサを流れる電流は
と表せる。
[A]を、
，ω，R，Cのうち必要なものを用いて表せ。 問7 C[F]を、ω，R，Lのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 ホイートストン・ブリッジ回路を題材にしていますが、Ⅱ，は非直線抵抗、Ⅲ．は交流の問題です。Ⅱ．の非線形抵抗は見かけないタイプの問題で、ここでは、選択肢の一つずつを調べてしまうことにします。
Ⅰ．問1 検流計に電流が流れないので、抵抗1に流れる電流
はそのまま抵抗2に流れます。オームの法則より、
，
より、
......[答]
問2 問1と同様に、抵抗3に流れる電流はそのまま抵抗4に流れ、抵抗3，抵抗4の電圧を
，
として、
，検流計に電流が流れないので、
，
より、
∴ 
......[答]
Ⅱ．問3 検流計に電流が流れないので、抵抗1を流れる電流
がそのまま抵抗2を流れます。また、検流計両端の電位は等しくなります。抵抗2にオームの法則を適用すると、抵抗2両端の電圧は
，これと抵抗1の電圧
を合わせて電源電圧Eになるので、 
･･･①
∴ 
......[答]
問4(a) ①は、
，
より、
，①のグラフは、
を通る直線で、これを図2に書き込むと右図赤線。このグラフと(あ)との交点を読むと、
......[答]
抵抗4に加わる電圧は抵抗2に加わる電圧に等しく、
......[答] (b) 抵抗4を流れる電流を
として、①と同様に、 
∴ 
･･･②このグラフは、
を通る直線で、これを図2に書き込むと右図青線。
となるような組み合わせを探します。(あ)と①の交点は、(a)より
，このとき
ですが、(あ)～(え)はどれもここで②と交わりません。(い)と①の交点は、
，このとき
ですが、(あ)～(え)はどれもここで②と交わりません。(う)と①の交点は、
，このとき
ですが、(あ)～(え)はどれもここで②と交わりません。(え)と①の交点は、
，このとき
ですが、(う)がここで②と交わります。
よって、XとYの組み合わせは、X：(え)，Y：(う) ......[答]
Ⅲ．問5 点ウを基準とした点イの電位は、オームの法則より、
......[(a)] 点イと点エの間に電流が流れないので、コイルを流れる電流も
です。点イを基準としたアの電位、即ちコイルの電圧降下は、
･･･③ 
......[(b)]
(a)と(b)の和が交流電源の電圧
に等しいので、問題文のヒントにより、 
，
これより、
......[(c)]
より、
......[(d)]
∴ 
......[答]
問7 コンデンサーを流れる電流
はそのまま抵抗6も流れるので、抵抗6の電圧降下は
，これがコイル両端の電圧
に等しく、③より、 問6の結果を用いて、
∴ 
......[答]
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[Ω]を、
，
，
を用いて表せ。
(
，
)
，コンデンサーを流れる電流は、