大阪大学2023年前期物理入試問題
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[1] 小球の運動や衝突について考える。地点Oにxy平面の原点を、水平方向にx軸を、鉛直上向きにy軸をとり、小球の運動はxy平面に限られるものとする。なお、小球の大きさは無視できるほど小さく、小球の回転は考えないものとし、空気抵抗も無視する。重力加速度の大きさは
であり、その向きは鉛直下向きである。
I.質量mの小球Aを投げた時の様子を観察する。図1のように、地点Oから仰角θ[rad]の方向に速さ
で小球を投げた。ただし、
,
とする。
問1 小球Aが達する最高点の高さを、m,
,θ,
のうち必要なものを用いて表せ。
問2 小球Aを投げた後、しばらくして小球Aは地面(
)に落下した。落下地点と地点Oの間の水平距離を、m,
,θ,
のうち必要なものを用いて表せ。
問3 初速度の大きさ
を一定にしたままで、仰角θを変えて小球Aを投げる。地点Oから最も遠くに落下する場合の仰角θ[rad]を求めよ。
問4 落下した小球Aは地面に衝突してはね返り、地面との衝突を繰り返した。地面はなめらかな面で、小球Aと地面の衝突は非弾性衝突であり、反発係数をeとする。小球Aが地面にn回目に衝突した地点と地点Oの間の水平距離を、m,
,θ,
,e,nのうち必要なものを用いて表せ。
U.図2のように、地点Oにxy平面の原点を、水平方向にx軸を、鉛直上向きにy軸をとる。質量Mの小球Bは、地点Oで静止していた質量mの小球Aに衝突する。衝突直前の小球Bの速度は
であったが、衝突直後に小球Aの速度は
となり、小球Bの速度は
となったとする。ただし、
,
,
とする。また、図2のように、θ[rad]は
とx軸のなす角度であり、ϕ[rad]は
とx軸のなす角度である。
,
とする。なお、小球Aと小球Bの衝突は弾性衝突である。ただし、小球と地面との衝突は考えないものとする。
問5 衝突によってはね上げられた直後の小球Aの速さvをm,M,
,θのうち必要なものを用いて表せ。
問6 小球Aがはね上げられた後、しばらくして小球Aは
まで落下した。落下地点と地点Oの間の水平距離Lをm,M,
,θ,
のうち必要なものを用いて表せ。
問7 距離Lが最も大きくなる場合を考えたい。m,M,
,
,d,
のうち必要なものを用いて、以下の空欄に入るべき数式を解答欄に記せ。
とおくと、Lの値が最大になる時にZの値も最大となる。
(
)とおけば、十分に小さいdの変化である
に対して、Zの変化
は、
(
)の項を無視すると、
と書ける。Zの値が最大となる場合、dの変化
に対して
となるので、Lの値が最大になる
の値は
となる。
V.Uでは、小球Aと小球Bを合わせた2物体の重心Gの位置は、時間とともに移動する。Uの小球Aと小球Bの衝突を、重心Gとともに移動する観測者Pから観察する。なお、小球Aと小球Bの質量はそれぞれmとMである。
問8 観測者Pから見た小球Aと小球Bの運動を求めたい。m,M,
,
のうち必要なものを用いて、以下の空欄に入るべき数式を解答欄に記せ。 Uの座標系では、小球Aと小球Bの座標をそれぞれ
と
とすれば、2物体の重心Gの座標は と表される。衝突直前に小球Aは地点Oに静止しており、小球Bは水平方向(x軸の正の向き)に速さ
を持っていたので、微小時間
の間における重心Gの座標の変化量は
と表される。ゆえに、重心Gの速度は
となる。よって、衝突直前において、重心Gとともに移動する観測者Pから見た小球Aの速度は
であり、小球Bの速度は
となる。
問9 衝突直後に、観測者Pから見た小球Aの速度は
となり、小球Bの速度は
となった。
[rad]は
とx軸のなす角度であり、
[rad]は
とx軸のなす角度である。ただし、
,
とする。衝突直後における小球Aの速さ
,小球Bの速さ
,
をm,M,
のうち必要なものを用いて表せ。
問10 小球Bの質量Mが小球Aの質量mより大きい場合、Uの座標系で見た小球Bの角度ϕには上限がある。m,M,
のうち必要なものを用いて、
の上限値を表せ。
[解答へ]
[2] 図1のように、真空中に半径がそれぞれ
および
の一巻きの円形コイルAおよびBが同一面内に中心をそろえて置かれており、コイルAには平行板コンデンサーと起電力Vの直流電源が、コイルBには抵抗値rの抵抗が、それぞれ接続されている。コンデンサーは、辺の長さがa,bの長方形の極板Aおよび極板Bで構成され、極板間の距離はdであり、極板間は真空である。ここで、dはa,bに比べて十分小さく、極板端部の電界の効果は無視できるとする。また、コイルAおよびBの電気抵抗も無視できるとする。ここでは、コンデンサー、直流電源、抵抗のサイズはコイルの半径に比べて十分小さく、コイルは円形コイルとみなして磁界を計算してよい。以下では、真空の誘電率および透磁率をそれぞれ
および
とする。
T.いま、図1中のコンデンサーの極板内に、図2のように、辺の長さがa,b,dの直方体の誘電体を挿入する。誘電体の挿入長を図2に示すようにsとする。誘電体を
の地点から、初速度が0,加速度の大きさがp (
)で等加速度運動させるとコイルBに電流が流れた。誘電体の挿入長が
のときの時刻を
とする。以下の問に答えよ。ここで、コイルAの自己誘導による逆起電力は小さく無視できるとし、また、コイルBに流れる電流が作る磁界も弱く無視できるとする。なお、誘電体の比誘電率は
であり、誘電体端部の電界の効果は無視できるとする。
問1 誘電体の挿入長がs (
)のときにコンデンサーに蓄えられている電気量をa,b,d,s,
,
,Vのうち必要なものを用いて表せ。
問2 いま、時刻t から微小時間
の間に、誘電体の挿入長がsから
に変化したと近似して、この間にコイルAに流れる電流の大きさ
を
,a,b,d,
,
,Vのうち必要なものを用いて表せ。ここで、
(
)は挿入長がsのときの誘電体の速度である。また、その電流の向きを図1中の記号(i)または(ii)により示せ。
問3 時刻t において電流
がコイルの中心につくる磁界の強さを
,
,
のうち必要なものを用いて表せ。またその向きは、図1において(ア)紙面表から裏の向き、あるいは(イ)紙面裏から表の向き、のうちどちらであるか。(ア)または(イ)の記号で示せ。
問4 時刻t から微小時間
の間に誘電体の速度が
から
になったとして、この間にコイルBに流れる電流
の大きさをr,
,
,a,b,d,p,
,
,
,Vのうち必要なものを用いて表せ。また、その電流の向きを図1中の記号(iii)または(iv)により示せ。ただし、コイルBの半径
はコイルAの半径
に比べて十分小さく、コイルBの内部の磁界は一様で中心の値に等しいとせよ。 問5 誘電体を挿入し始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさを
として、誘電体の挿入長が0からaまで変化する間に抵抗rで消費されるエネルギーをr,
,a,pのうち必要なものを用いて表せ。
問6 このときの、このコンデンサーの電気容量を、図4のように極板をn個の微小区間に等分割してできた、電気容量が
の微小平行板コンデンサーを合成した電気容量であると考えよう。ただしkは1からnまでの整数である。次の文章の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
極板AB間の距離は図5に示すxの1次関数で表される。原点側から数えてk番目の微小平行板コンデンサーの極板間の距離が
における極板AB間の距離であるとすれば、この極板間の距離はd,
,n,kを用いて
と表される。したがって、微小平行板コンデンサーの合成容量はa,b,d,
,n,k,
を用いて
と表される。いま、分割数nが十分大きいときの微小平行板コンデンサーの合成容量は、次の近似を適用すればa,b,d,
,
を用いて
と表される。nが十分大きく、かつδが1に比べて十分小さい場合:
問7 図1のように直流電源とコンデンサーはつながっている。位置xにおける極板A上の単位面積あたりの電気量をx,a,d,
,
,Vのうち必要なものを用いて表せ。
問8 横軸をx,縦軸を極板A上の単位面積あたりの電気量σとして、変形前と変形後のσの分布をグラフに描くとどのようになるか。図6中の(あ)から(こ)の中から最も適切なものを選べ。ただし、図中の
は極板を広げる前の極板A上の単位面積あたりの電気量である。
問9 辺
と辺
を上下に等しく広げる際、それぞれの辺の初速度を0,加速度の大きさを
で一定とする。極板を広げ始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさをr,
,
,a,b,d,q,
,
,Vのうち必要なものを用いて表せ。
[解答へ]
[3]
以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。
A.図1のように熱を通さない物質でできた2つの風船をつなぎ合わせた気球がある。一方の風船には単原子分子理想気体である気体A,もう一方の風船には二原子分子理想気体である気体Bが入っている。風船はそれぞれ密閉されていて気体A,Bは混合しない。風船の材質は力を伴わずに伸び縮みできるので、風船内の気体の圧力は大気圧と常に一致しているとする。2つの風船の接続部には遠隔制御できるヒーター、冷却器、断熱板がある。断熱板を開いているときは、気体A,Bは互いに熱を交換できる。断熱板を開いた状態でヒーターや冷却器を用いると、両気体の温度を一致させたまま温度をゆっくりと変化させることができる。気体を構成する物質のうち、気体A,B以外の部分の質量、体積、熱容量は考慮しなくてよい。温度はすべて絶対温度とする。
気体A,Bの物質量、モル質量、定積モル比熱、定圧モル比熱を表1に示す。Rは気体定数、モル質量は1モルあたりの質量である。大気はモル質量がMの理想気体であるとする。地面からの高度が高くなるほど大気の圧力や密度は小さくなるが、気体A,Bの状態を計算する場合には気球の中心高度に対応する大気圧を気体の圧力として用い、各風船内で圧力や密度が一様であるとしてよい。風の影響はないものとする。地上の大気の圧力は
,温度は
であった。重力加速度の大きさを
とし、高度によらず一定とする。
T.最初、図1のように気球は地面に着地しており、気体A,Bの温度は大気の温度
と同じであった。断熱板を開いた状態でヒーターを用いて気体A,Bを同時に温めたところ、温度が
になったときに気球が地面を離れて浮き始めた。以下の問にn,M,
,
,
,
,R,
のうち必要なものを用いて答えよ。
問1 気球が浮き始めたとき、気球に働いている単位体積あたりの浮力の大きさを求めよ。
問2
を求めよ。
問3 温度が
から
になるまでにヒーターが気体A,Bに与えた熱量の合計を求めよ。
U.つぎに、気球が上昇していかないようにひもで地面に固定した。気体A,Bの温度が
となるまで温めた時点でヒーターを停止し、断熱板を閉じて気体A,Bの熱交換を遮断した。気球からひもを外したところ、気球は上空にゆっくりと上がっていき、ある高度で静止した。静止した気球の中心高度の大気圧は地上の大気圧のa倍であった。aの大きさの範囲は
である。上空で静止したときの気体Aの温度を
,気体Bの温度を
とする。
問4
と
をn,M,
,
,a,
,
,R,
のうち必要なものを用いて表せ。なお、気体A,Bの圧力変化は十分ゆっくりであるので、理想気体の断熱膨張過程では圧力(p)と体積(V)が「
」の関係を満たすことを使用してよい。ここでγは定圧モル比熱を定積モル比熱で割った値である。
B.一様で流れがない大気中を速さVで伝わる音を考える。音は大気中に静止した音源から、等方的に球面波として発せられる。観測者と音源の大きさは無視できるとし、音の伝わり方は音源により乱されないとする。図2の点Sで音源が振動数
の音を発している。この音の振動数を、観測者が点Sから距離dだけ離れた点Oを中心とする半径
の円軌道上で、図2のように反時計回りに角速度ωで等速円運動しながら観測する。このとき観測者が観測する音の振動数は、観測者と音源を結ぶ直線方向の速度成分を用いて求めることができる。観測者の位置を点P,
の角度をθとする。観測者が、時刻
に
の点を通過してから、この円を一周する間について以下の問に答えよ。音源からの音は
で既に観測者に届いているとする。観測者の速さは音速より十分遅いとする。なお、観測者の加速度は十分小さいとし、音の振動数を計算する際は、その時点での観測者の速度を一定として計算せよ。また、角度の単位はラジアンとする。
問6 観測者が
に
の振動数を観測したのち、ふたたび
の振動数を観測する最初の時刻を、V,
,d,ω,rのうち必要なものを用いて表せ。
問7 観測者が観測する音の振動数を求めるには、観測者の速度のSP方向(SからPに向う方向)の成分
が必要である。角度θの位置における観測者の
をV,
,d,ω,r,θのうち必要なものを用いて表せ。 ヒント:
は観測者の速度ベクトル
と、SP方向を表すベクトル
とその大きさ
を用いて、
のように内積を使って求めることができる。
問8 問7の
の大きさを計算すると、
となるθにおいて最大となることがわかった。このことを用い、次の文章の
と
に入るべき数式を、V,
,d,ω,rのうち必要なものを用いて解答欄に記せ。 観測者が最小の振動数を観測したときの
の大きさは、
と表される。したがって、観測者が観測する最小の振動数は
と表される。
問9 観測者が観測する最大の振動数を、V,
,d,ω,rのうち必要なものを用いて表せ。
問10
であるとき、観測者が最小の振動数を観測してから次に最大の振動数を観測するまでにかかる時間を、V,
,d,ωのうち必要なものを用いて表せ。 [解答へ]
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