阪大物理'23年前期[2]
図1のように、真空中に半径がそれぞれ
および
の一巻きの円形コイルAおよびBが同一面内に中心をそろえて置かれており、コイルAには平行板コンデンサーと起電力Vの直流電源が、コイルBには抵抗値rの抵抗が、それぞれ接続されている。コンデンサーは、辺の長さがa，bの長方形の極板Aおよび極板Bで構成され、極板間の距離はdであり、極板間は真空である。ここで、dはa，bに比べて十分小さく、極板端部の電界の効果は無視できるとする。また、コイルAおよびBの電気抵抗も無視できるとする。ここでは、コンデンサー、直流電源、抵抗のサイズはコイルの半径に比べて十分小さく、コイルは円形コイルとみなして磁界を計算してよい。以下では、真空の誘電率および透磁率をそれぞれ
および
とする。
Ⅰ．いま、図1中のコンデンサーの極板内に、図2のように、辺の長さがa，b，dの直方体の誘電体を挿入する。誘電体の挿入長を図2に示すようにsとする。誘電体を
の地点から、初速度が0，加速度の大きさがp (
)で等加速度運動させるとコイルBに電流が流れた。誘電体の挿入長が
のときの時刻を
とする。以下の問に答えよ。ここで、コイルAの自己誘導による逆起電力は小さく無視できるとし、また、コイルBに流れる電流が作る磁界も弱く無視できるとする。なお、誘電体の比誘電率は
であり、誘電体端部の電界の効果は無視できるとする。
問1 誘電体の挿入長がs (
)のときにコンデンサーに蓄えられている電気量をa，b，d，s，
，
，Vのうち必要なものを用いて表せ。
問2 いま、時刻t から微小時間
の間に、誘電体の挿入長がsから
に変化したと近似して、この間にコイルAに流れる電流の大きさ
を
，a，b，d，
，
，Vのうち必要なものを用いて表せ。ここで、
(
)は挿入長がsのときの誘電体の速度である。また、その電流の向きを図1中の記号(i)または(ii)により示せ。
問3 時刻t において電流
がコイルの中心につくる磁界の強さを
，
，
のうち必要なものを用いて表せ。またその向きは、図1において(ア)紙面表から裏の向き、あるいは(イ)紙面裏から表の向き、のうちどちらであるか。(ア)または(イ)の記号で示せ。
問4 時刻t から微小時間
の間に誘電体の速度が
から
になったとして、この間にコイルBに流れる電流
の大きさをr，
，
，a，b，d，p，
，
，
，Vのうち必要なものを用いて表せ。また、その電流の向きを図1中の記号(iii)または(iv)により示せ。ただし、コイルBの半径
はコイルAの半径
に比べて十分小さく、コイルBの内部の磁界は一様で中心の値に等しいとせよ。 問5 誘電体を挿入し始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさを
として、誘電体の挿入長が0からaまで変化する間に抵抗rで消費されるエネルギーをr，
，a，pのうち必要なものを用いて表せ。
問6 このときの、このコンデンサーの電気容量を、図4のように極板をn個の微小区間に等分割してできた、電気容量が
の微小平行板コンデンサーを合成した電気容量であると考えよう。ただしkは1からnまでの整数である。次の文章の空欄に入れるべき数式を解答欄に記せ。
極板AB間の距離は図5に示すxの1次関数で表される。原点側から数えてk番目の微小平行板コンデンサーの極板間の距離が
における極板AB間の距離であるとすれば、この極板間の距離はd，
，n，kを用いて
と表される。したがって、微小平行板コンデンサーの合成容量はa，b，d，
，n，k，
を用いて
と表される。いま、分割数nが十分大きいときの微小平行板コンデンサーの合成容量は、次の近似を適用すればa，b，d，
，
を用いて
と表される。nが十分大きく、かつδが1に比べて十分小さい場合：
問7 図1のように直流電源とコンデンサーはつながっている。位置xにおける極板A上の単位面積あたりの電気量をx，a，d，
，
，Vのうち必要なものを用いて表せ。
問8 横軸をx，縦軸を極板A上の単位面積あたりの電気量σとして、変形前と変形後のσの分布をグラフに描くとどのようになるか。図6中の(あ)から(こ)の中から最も適切なものを選べ。ただし、図中の
は極板を広げる前の極板A上の単位面積あたりの電気量である。
問9 辺
と辺
を上下に等しく広げる際、それぞれの辺の初速度を0，加速度の大きさを
で一定とする。極板を広げ始めた直後にコイルBに流れる電流の大きさをr，
，
，a，b，d，q，
，
，Vのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 円形コイルに接続されているコンデンサーの極板間を広げるとき、一端を固定して他端だけを加速度運動させるように広げると、もう一つの円形コイルに流れる電流はどうなるか、という問題ですが、ボリューム満点です。出題者は親切であえて書いているのだと思いますが、問題文中の「電流の大きさ
」、「電流
の大きさ」にも注意してください。
Ⅰ．誘電体の挿入長は、加速度p，初速度0，時刻t が
のとき
なので、
･･･① で与えられます。 問1 挿入長がsのとき、誘電体が挿入されている部分にできているコンデンサーの静電容量を
，誘電体が挿入されていない部分にできているコンデンサーの静電容量を
とすると、
の極板面積は
，
の極板面積は
で、それぞれの静電容量は、 
，
コンデンサー両端の電圧はVで、コンデンサーに蓄えられている電気量Qは、
......[答]
問2 挿入長が
のときのコンデンサーの電気量
は、問1の結果で、
として、 
，
なので
です。よって、コイルAに流れる電流の大きさ
は、
......[答]
なので、コンデンサーの電気量が増える方向に電流が流れます。電流の向きは(i) ......[答]
......[答] (
)磁界の向きは、右ねじの法則より、紙面裏から表の向きで(イ) ......[答]
問4 コイルの中心を通過する磁束密度の大きさBは
，コイルBが囲む面積を
(＝一定)として、コイルB内部の磁界は一様と考えるので、コイルを通過する磁束は
，微小時間
の間にコイルBに生ずる起電力の大きさ
は、問3の結果を用いて、 微小時間
の間に、誘電体の速度が
から
まで変わるとして
より、起電力
は、 コイルBに流れる電流
の大きさは、 
......[答]
より
，問3の結果を考慮すると、コイルBを貫く紙面裏から表に向かう向きの磁界が強くなるので、起電力は磁界を弱める向き(レンツの法則を参照)、つまり、紙面表から裏に向かう磁界を作る向きで、右ねじの法則より電流の向きは(iv) ......[答]
問5 時間t の間に挿入長が0からaまで変化するとして①より、
......[答]
Ⅱ．問6 微小平行板コンデンサー
の極板間距離は
......(a) 微小平行板コンデンサーの合成容量
は
ですが、
の極板面積は
で、
......(b) 
はdに比べて充分に小さいので、
と見て、問題文の近似式を用いると、よって、
......(c)
問7 微小平行板コンデンサーに蓄えられる電気量
は、(b)より、 単位面積当たりの電気量は、
を
の面積
で割り、問題文の図5の
，つまり、
を用いて 
......[答]
問8 問7の結果より、
･･･② となります。
，
より、
の範囲で
のとき
です。そうなっているグラフは(あ)～(お)です。 問1の結果で
とすると
となり、極板面積
で割ると、極板を広げる前の極板A上の単位面積あたりの電気量は
，②で
とすると
となります。こうなっているグラフは(え) ......[答]
問9 問6(c)より、コンデンサーの静電容量は
･･･③ です。辺
と辺
を上下に等しく広げる際、それぞれの辺の初速度を0，加速度の大きさを
で一定とすると、辺
から見た辺
の加速度はqとなり、
において
であることから、時刻t において
です。よって③より、 コンデンサーに蓄えられる電気量Qは、
コンデンサーに流れ込む電流
は、 
(電流の向きは図1の(ii)です)コイルAの中心に発生する磁界は、
(磁界の向きは紙面表から裏です)コイルBを貫く磁束Φは、コイルBが囲む面積
，磁束密度の大きさが
であることから、
コイルBに発生する起電力の大きさ
は、 コイルBに流れる電流の大きさ
は、 
......[答]
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Ⅱ．次に、コンデンサーに挿入した誘電体を取り除いたうえで、図1のコンデンサーに対して図3のように、極板Aの辺
と極板Bの辺
の位置を固定したまま辺
と辺
を上下に等しく広げる変形を与えたところ、コイルBに電流が流れた。辺
と辺
の距離が
である瞬間について、次の問いに答えよ。ここで、
はdに比べて十分小さいとする。以下では、図3のように頂点
と頂点
の中点を原点とし、x軸を頂点
と頂点
の中点の方向にとる。また、
は小さいため、極板間距離を広げた後も極板のx方向の長さはaで近似できるものとする。
は並列で、
がコイルの中心に作る磁界の強さ
のまま変化せず、時間