大阪大学2024年物理入試問題

大阪大学2024年物理入試問題

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[1]　水平な床の上をx軸に沿って運動する小物体PとQについて考える。この小物体同士の衝突は弾性衝突とする。これら2つの小物体は、伸びることのない長さ

のひもでつながれている。ひもが緩んでいるときには、ひもが小物体の運動を妨げることはないが、小物体間の距離が

になるとひもが張って、小物体の間にはひもを介して瞬間的な力(撃力)がはたらく。このとき、ひもが張る前後において2つの小物体には力学的エネルギー保存則および運動量保存則が成立するものとする。なお、ひもを介して力を及ぼしあうことは衝突とはよばない。また、小物体の大きさは無視できるほど小さく、ひもの質量は無視できる。断りがない限りは床と小物体の間の摩擦も無視できる。重力加速度の大きさは

である。速度の正の向きはx軸の正の向きとする。

Ⅰ．小物体Pの質量をm，小物体Qの質量を

(cは正の定数)とする。図1のように、

で静止している小物体Qに小物体Pを速度

(

)で衝突させた。ただし、この最初の衝突の時刻は

である。

問1　最初の衝突直後の小物体PとQの速度を、c，

，

のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

問2　2つの小物体は衝突後に離れていき、小物体間の距離が

となったところでひもが張った。この直後の小物体PとQの速度を、c，

，

のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

問3　ひもが張った後、しばらくして小物体PとQが再び衝突した。、2回目の衝突の時刻を、c，

，

のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。

問4　時刻t (

)における小物体PとQを合わせた2物体の重心の位置を、c，

，

，t　のうち必要なものを用いて表せ。

Ⅱ．図2のように小物体PとQの質量がともにMであり、小物体Qをばね定数kのばねに取り付けた装置を考える。ばねの右端は壁面に固定されており、ばねの左端は小物体Qと離れることはない。はじめ、小物体Qは

で静止しており、ばねは自然の長さである。その後、小物体Pを速度

(

)で小物体Qに向かって運動させ、時刻

で1回目の衝突をさせた。小物体Qは衝突後、ばねの力を受けながら運動した。ただし、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。

問5　2回目の衝突が

で起こるためには、ひもの長さ

が、ある

より長い必要がある。また、

がこの

より短いと、

で2回目の衝突は起こらない。この

を、M，

，k，

のうち必要なものを用いて表せ。

がこの

より長いという条件のもとで、2回目以降の衝突を考える。

問6　2回目の衝突の時刻を、M，

，k，

，

のうち必要なものを用いて表せ。

問7　

回目の衝突の時刻を、M，

，k，

，

，nのうち必要なものを用いて表せ。ただし、nは正の整数である。

Ⅲ．次に、Ⅱ．で用いた装置に変更を加え、図3のように

の領域Aのみにおいて小物体Pと床の間に摩擦力がはたらくようにした。領域Aにおける小物体Pと床の間の動摩擦係数をμとする。

で静止している小物体Qに小物体Pを速度

(

)で衝突させたところ、小物体PとQは

で2回目の衝突をした。その後、小物体PとQはさらに衝突を繰り返し、

回目と

回目の衝突の間に小物体Pは領域Aの中心

で静止した。ただし、Nは、ある正の整数である。小物体PとQが最初に衝突してから、小物体Pが領域Aで静止するまでの間、小物体Qが領域Aに入ることはなかった。また、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。

問8　上記の運動を実現するには、動摩擦係数μがある値をとる必要がある。その取りうるすべての値を、M，

，k，

，

，Nのうち必要なものを用いて表せ。

[解答へ]

[2]　磁場(磁界)が導体棒に及ぼす影響を考える。水平面(xy平面)内にx軸と平行な2本の導体レールが間隔dで設置されている。2本のレール上には、質量mの導体棒がy軸と平行に置かれており、導体棒はレール上をx軸と平行な方向に摩擦なしに滑ることができる。ただし、レールは十分に長く、導体棒が運動してもレール上から外れることはない。以下の問では、レール、導体棒や導線の抵抗と太さは無視してよく、これらに流れる電流により生じる磁場、および、コイル以外の回路の自己インダクタンスも無視してよい。

Ⅰ．ここでは、レール上の導体棒をPとよぶ。図1のように、

の領域のレールの端部に、内部抵抗を無視できる起電力Eの電池、抵抗値Rの抵抗1，自己インダクタンスLのコイル、および、スイッチ

と

を導線で接続した。さらに、

の領域のレールの端部には、抵抗値Rの抵抗2とスイッチ

を導線で接続した。

の領域にのみ、鉛直上向き(紙面に垂直に裏から表へ向かう向き)の一様な磁場があり、その磁束密度の大きさはBである。

はじめに、スイッチ

と

を開いたままスイッチ

を閉じ、導体棒Pに外力を加え、

の領域においてx軸の正の向きに一定の速さvで動かした。

問1　導体棒Pに発生する誘導起電力の大きさを求めよ。

問2　導体棒Pに加えている外力の大きさを求めよ。

次に、図2のように、スイッチ

を閉じたまま導体棒Pを

の領域で

から十分に離れた場所に静止させ、時刻

にスイッチ

を閉じたところ、導体棒Pが動き始めた。その後しばらくすると、導体棒Pは

の領域内で一定の速度に達した。

問3　導体棒Pの速度が一定になったときの速さを求めよ。

問4　スイッチ

を閉じてから導体棒Pの速度が一定になるまでの間に、抵抗2に流れる電流

の時間変化を図示したものとして、最も適切なものを図3の(あ)から(け)の中から選んで記号で答えよ。ただし、抵抗2を流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。

次に、スイッチ

と

を開き、導体棒Pを

の領域で静止させた。そして、図4に示すように、スイッチ

を閉じ、導体棒Pを時刻

にx軸の負の向きへ速さvで打ち出した。このあと、導体棒Pは時刻

(

)に

を通過して磁場のある領域へ入った。以下では、時刻t における導体棒Pの位置と導体棒に流れる電流を、それぞれ、

，

とする。

問5　

と

の関係について、以下の文章の空欄に入るべき式を解答欄に記入せよ。ただし、導体棒Pに作用する力の正の向きはx軸の正の向きとし、導体棒Pに流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。

一般に、時刻t から微小な時間

だけ経過したときの電流と導体棒の位置は、電荷量

と

を用いて、

，

と表される。

のとき、自己誘導によってコイルに生じる起電力と磁場の中を運動する導体棒Pに生じる誘導起電力がつりあうことから、

　(1)

の関係が得られる。導体棒Pが時刻

に

を通過するときには

であるため、式(1)から、導体棒Pに流れる電流は

となる。この電流が流れることにより導体棒Pには

の力がはたらく。この力は、ばね定数が

のばねによる復元力とみなすことができる。

問6　導体棒Pに流れる電流

の時間変化を図示したものとして、最も適切なものを図5の(さ)から(て)の中から選んで記号で答えよ。ただし、導体棒Pに流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。

問7　導体棒Pに流れる電流

の大きさの最大値を求めよ。

Ⅱ．次に、図6に示すように、2本のレールと導体棒を2組に増やし、それぞれをz座標の値が異なる水平面内に設置した。そして、互いのレールをスイッチ

，

，抵抗値

，

をもつ抵抗と導線を用いて接続した。ここでは、上側にあるレール上の導体棒をPとし、下側のレール上にある導体棒をQとよぶ。上下のレールと導体棒は、どちらも一様な磁場の中に置かれている。その磁束密度の大きさはBであり、磁場の向きはz軸の正の向きである。ただし、図6に記号Aで示したところでは2本の導線は接触していない。

はじめに導体棒PとQを静止させ、スイッチ

を開いたままでスイッチ

を閉じた。その後、外力を加えて導体棒Pをx軸の正の向きに一定の速さvで動かした。

問8　導体棒Pを一定の速度で動かし始めた直後に導体棒Qに作用する力の向きを、図6に示した(ア)または(イ)の記号で答えよ。また、その力の大きさを求めよ。

問9　導体棒Pを一定の速度で動かし始めてからしばらくすると、導体棒Qの速度は一定になった。このときの導体棒Qの速さを求めよ。

問9において導体棒Qの速度が一定になった後に、スイッチ

を閉じたままでスイッチ

も閉じた。スイッチ

を閉じた後も、導体棒Pをx軸の正の向きに一定の速さvで動かし続けた。

問10　スイッチ

を閉じた直後に抵抗値

の抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。

問11　スイッチ

を閉じてからしばらくすると、導体棒Qの速度は一定になった。このときの導体棒Qの速さを求めよ。

[解答へ]

[3]　以下のAとBの両方の問題に解答せよ。なおAとBは独立した内容の問題である。

A．図1に示すように、大気環境下で円筒容器XとYが水平な床に固定されている。容器XとYは細管とバルブ(コック)を介して内部がつながっている。容器X内のピストンは、断面積Sの底面をもち、鉛直方向に摩擦なしで滑らかに動くことができる。また、ピストンの位置は固定することもできる。容器Xの中にはヒーターがあり、気体の温度を上げることができる。容器Y内の体積は

である。
最初、細管のバルブは閉じられている。容器X内にはnモルの単原子分子の理想気体が入っており、容器Y内は真空となっている。また、ピストンに質量mのおもりがのせられている。
すべての容器、細管、バルブやピストンは断熱材料で作られている。また、ピストンの質量、細管の体積、ヒーターの体積およびヒーターの熱容量は無視できるものとする。気体定数をR，重力加速度の大きさを

，大気の圧力を

として以下の問に答えよ。なお、単原子分子の理想気体のゆっくりとした断熱変化では、圧力pと体積Vが「

一定」の関係を満たす。γは比熱比とよばれる定数である。また、大気の圧力

は一定で、容器内の気体の分子にはたらく重力は無視できるものとする。

問1　はじめにピストンが自由に動ける状態にした。すると、ピストンは、図1のようにその底面が容器X内の底面から高さLの位置で静止していた。このときの容器X内の気体の温度

を、

，m，

，S，L，n，Rのうち必要なものを用いて表せ。

問2　問1の状態(温度

)から、ピストンの底面を高さLの位置のまま固定し、バルブを開いた。すると、気体は容器Y内に広がるだけで容器の壁やピストンに対して仕事をせず、バルブを開いて十分に時間が経過した後に、容器X内とY内の気体の温度と圧力は等しくなった。このときの気体の温度

を、

，

，m，

，S，L，

のうち必要なものを用いて表せ。

問3　問2の状態から、バルブを開いたままヒーターを用いて容器X内とY内の気体の温度を

まで上昇させて、ピストンの固定を外した。すると、ピストンの底面は高さLの位置で変わらなかった。このときの気体の温度

を、

，m，

，S，L，

，n，Rのうち必要なものを用いて表せ。

問4　問3の状態から、バルブを再び閉じて、おもりをピストンからゆっくりと外した。すると、容器X内の気体において、ゆっくりとした断熱変化が起こり、ピストンの底面は高さ

の位置となった。このとき、

を、

，m，

，S，γ，n，Rのうち必要なものを用いて表せ。

問5　以下の文章の

と

に入るべき式を、それぞれの

の中に与えられた文字のうち必要なものを用いて表せ。

問3および問4の過程における内部エネルギー変化と仕事を求めてみよう。まず、問3の操作において、ヒーターによって容器X内とY内の気体を

から

まで温めたことによる内部エネルギーの変化

は

となる。また、問4の断熱変化で気体がピストンに対して行った仕事Wは

と表せる。

問6　問3の状態から、バルブを開いたまま、おもりをピストンからゆっくりと外した。すると、容器X内とY内の気体において、ゆっくりとした断熱変化が起こり、ピストンの底面は高さ

の位置となった。このとき、

と問4で求めた

の比

を、L，S，

のうち必要なものを用いて表せ。

B．中性子捕捉療法とは、がん細胞に取り込まれた原子核Xと中性子との核反応で生成されるα線(

の原子核)によって、がん細胞を効率的に死滅させる放射線療法の一つである。

Ⅰ．静止している原子核Xに遅い中性子

を当てたところ、核反応

が起こり

(

)のエネルギーが生じた。そして、そのすべてのエネルギーが

と

の原子核の運動エネルギーに変換された。ここで

は

の励起状態である。なお、

は、

と同じ数の陽子と中性子から構成されているが、表1に示すような

に比べて大きな質量をもつ。

問7　原子核Xの質量数と原子番号を求めよ。

問8　上記の核反応が起こり、

と

のが互いに十分に離れた後の

の運動エネルギーを、MeVを単位として有効数字2桁で求めよ。ただし、核反応の前後では運動量保存則が成り立つ。また、核反応前の中性子の運動量は無視できるものとする。必要であれば、表1の原子核の質量の文献値を用いてもよい。

表1

原子核	質量[u]
	1.0087
	4.0015
	7.0144
	7.0149

Ⅱ．最近の中性子捕捉療法では、サイクロトロンなどの加速器を用いる。そこでは、数十MeVの運動エネルギーまで加速された陽子を、リチウムやベリリウムと核反応させることで、数MeV程度の運動エネルギーをもつ中性子を発生させる。その後、発生した中性子を減速材に入射し、治療に適した運動エネルギーまで減速させる。

問9　室温(