阪大物理'24年前期[1]
水平な床の上をx軸に沿って運動する小物体PとQについて考える。この小物体同士の衝突は弾性衝突とする。これら2つの小物体は、伸びることのない長さ
のひもでつながれている。ひもが緩んでいるときには、ひもが小物体の運動を妨げることはないが、小物体間の距離が
になるとひもが張って、小物体の間にはひもを介して瞬間的な力(撃力)がはたらく。このとき、ひもが張る前後において2つの小物体には力学的エネルギー保存則および運動量保存則が成立するものとする。なお、ひもを介して力を及ぼしあうことは衝突とはよばない。また、小物体の大きさは無視できるほど小さく、ひもの質量は無視できる。断りがない限りは床と小物体の間の摩擦も無視できる。重力加速度の大きさは
である。速度の正の向きはx軸の正の向きとする。
Ⅰ．小物体Pの質量をm，小物体Qの質量を
(cは正の定数)とする。図1のように、
で静止している小物体Qに小物体Pを速度
(
)で衝突させた。ただし、この最初の衝突の時刻は
である。
問1 最初の衝突直後の小物体PとQの速度を、c，
，
，
のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。 問2 2つの小物体は衝突後に離れていき、小物体間の距離が
となったところでひもが張った。この直後の小物体PとQの速度を、c，
，
，
のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。 問3 ひもが張った後、しばらくして小物体PとQが再び衝突した。、2回目の衝突の時刻を、c，
，
，
のうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。 問4 時刻t (
)における小物体PとQを合わせた2物体の重心の位置を、c，
，
，
，t のうち必要なものを用いて表せ。
Ⅱ．図2のように小物体PとQの質量がともにMであり、小物体Qをばね定数kのばねに取り付けた装置を考える。ばねの右端は壁面に固定されており、ばねの左端は小物体Qと離れることはない。はじめ、小物体Qは
で静止しており、ばねは自然の長さである。その後、小物体Pを速度
(
)で小物体Qに向かって運動させ、時刻
で1回目の衝突をさせた。小物体Qは衝突後、ばねの力を受けながら運動した。ただし、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。
問5 2回目の衝突が
で起こるためには、ひもの長さ
が、ある
より長い必要がある。また、
がこの
より短いと、
で2回目の衝突は起こらない。この
を、M，
，k，
のうち必要なものを用いて表せ。 
がこの
より長いという条件のもとで、2回目以降の衝突を考える。
問6 2回目の衝突の時刻を、M，
，k，
，
のうち必要なものを用いて表せ。 問7 
回目の衝突の時刻を、M，
，k，
，
，nのうち必要なものを用いて表せ。ただし、nは正の整数である。
Ⅲ．次に、Ⅱ．で用いた装置に変更を加え、図3のように
の領域Aのみにおいて小物体Pと床の間に摩擦力がはたらくようにした。領域Aにおける小物体Pと床の間の動摩擦係数をμとする。
で静止している小物体Qに小物体Pを速度
(
)で衝突させたところ、小物体PとQは
で2回目の衝突をした。その後、小物体PとQはさらに衝突を繰り返し、
回目と
回目の衝突の間に小物体Pは領域Aの中心
で静止した。ただし、Nは、ある正の整数である。小物体PとQが最初に衝突してから、小物体Pが領域Aで静止するまでの間、小物体Qが領域Aに入ることはなかった。また、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。
問8 上記の運動を実現するには、動摩擦係数μがある値をとる必要がある。その取りうるすべての値を、M，
，k，
，
，Nのうち必要なものを用いて表せ。
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解答 ひもでつながれた2物体とばねに関する問題です。問7，問8はかなりややこしく、丁寧に考える必要があります。
Ⅰ．問1 最初の衝突直後の小物体PとQの速度を
，
とします。運動量保存より、 
･･･①よって、
･･･②
①に代入すると、
∴ 
②に代入して、
よって、衝突直後のPの速度は
，Qの速度は
......[答]
問2 1回目の衝突の後、2小物体は等速度運動します。ひもが張った直後の小物体P，Qの速度を
，
とすると、ひもが張る前後の運動量保存より、 
･･･③よって、
･･･④
③に代入すると、
問1の結果を代入して、
∴ 
④に代入し、問1の結果を用いて、 
･･･⑤よって、ひもが張った直後のPの速度は
，Qの速度は0 ......[答] 注．この結果は、③と反発係数の式を連立して解かなくても、あるいは③と力学的エネルギー保存の式を解かなくても、予測できます。解答のみの問題なので注意してください。
問3 最初の衝突からひもが張るまでの時間は、⑤を用いて、
，ひもが張ってから2回目の衝突までの時間は、問2の結果を用いて、
，よって、2回目の衝突の時刻は、
......[答]
問4 運動量が保存される系では、その重心は等速度運動を続けます。最初の衝突までの重心の速度は
です。衝突後も、ひもが張った後も、重心はこの速度で運動を続けるので、重心の位置は、
......[答]
Ⅱ．問5 質量が等しい2物体の衝突では速度が交換され(衝突・合体・分裂の問題を参照)、衝突直後の小物体P，Qの速度は、0，
です。ひもが充分に長ければ、小物体Qは単振動して、ばねの最大縮みの位置(振動端)に達した後、反転して
に戻り小物体Pと衝突します。ひもが短く、小物体Qが振動端に達する前にひもが張ってしまうと、
で静止していた小物体Pがx軸正方向に動き出してしまうため、
で2回目の衝突が起こらなくなります。 小物体Qの単振動(ばね振り子を参照)は、周期
，角振動数
であって、衝突位置
が振動中心であり、衝突直後の速さ
が単振動の速さの最大値なので、単振動の公式：
より、振幅Aは
です。
でなければ
で2回目の衝突が起こらなくなるので、
......[答]
問6 1回目の衝突(
)から2回目の衝突までの時間は単振動の半周期
です。2回目の衝突の時刻は、
......[答]
問7 2回目の衝突直前の小物体Qの速度は、単振動の半周期後の速度
です。2回目の衝突で、再び、小物体P，Qで速度を交換し、衝突直後の小物体Pの速度は
，小物体Qの速度は0です。そこから時間
の後、ひもが張り、Ⅰ．の考察より、小物体Pの速度が0，小物体Qの速度が
となります。 小物体Qは、左向きに運動を開始し、時刻0から時刻
までの単振動と同様の単振動をして、一旦、ばねの最大伸びの位置
まで来て(ひもが張っていて
なので小物体Qは小物体Pとは衝突しません)反転し、速度
で
に戻ったところでひもが張り、小物体Pの速度が
，小物体Qの速度が0になります。さらに時間
の後、3回目の衝突が起き、以後、同じ運動を繰り返します。
として、
回目の衝突から
回目の衝突までの時間は、問6で見たように単振動の半周期
です。
回目から
回目の衝突までの時間は、上記で考察した2回目から3回目の衝突までの時間と同じく、
です。即ち、
回目の衝突から
回目の衝突までの時間は、
です。
(1回目の衝突の時刻)から
回目までの衝突で、これがn回繰り返されます。
よって、
よち、
回目の衝突の時刻は、
......[答]
Ⅲ．問8 問題文に、
で2回目の衝突が起きたと書かれているので、Ⅱの
という条件は満たされているとして考えます。
の領域A(幅は、
)内で一旦止まると、摩擦が動摩擦から静止摩擦に変わり静止したままになります(摩擦力を参照)。従って、
で静止するとき以外は、小物体Pは、領域Aを静止することなく通過していたことになります。問7と同様に、
回目の衝突後、小物体Pは、まず左向きに領域Aに入り、領域Aを通過すれば、ひもが張って小物体Qが単振動した後にひもが張って、小物体Pは、右向きに領域Aに入ります。領域Aを通過すれば、
回目の衝突をします。 最初の衝突(
)後、2回目の衝突までに、小物体Pは、領域Aを通過しません。4回目の衝突までに、小物体Pは、領域Aを2回通過します。6回目の衝突までに、小物体Pは、領域Aを4回通過します。
回目の衝突までに、小物体Pは、領域Aを
回通過します。
回目の衝突後、左向きに領域Aを通過している間に
で静止するとき(領域A内を動いた距離は
)、動摩擦力の仕事によって失われるエネルギーは(エネルギーの原理を参照)、領域Aの長さは
なので、 
･･･⑥静止したときの運動エネルギーは0で、⑥は、最初に小物体Pが持っていた運動エネルギー
に等しいので、 ∴ 
回目の衝突後、小物体Pが、左向きに領域Aを通過した後、右向きに領域Aを通過している間に
で静止するとき、既に領域Aを
回通過し、さらに領域A内を
だけ動きます。動摩擦力の仕事によって失われるエネルギーは、⑥と同様に、 これが、最初に小物体Pが持っていた運動エネルギー
に等しいので、 ∴ 
で静止するのは上記2通りの場合だけです。よって、動摩擦係数μが取りうる値は、
......[答]
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