阪大物理'24年前期[1]

水平な床の上をx軸に沿って運動する小物体PQについて考える。この小物体同士の衝突は弾性衝突とする。これら2つの小物体は、伸びることのない長さのひもでつながれている。ひもが緩んでいるときには、ひもが小物体の運動を妨げることはないが、小物体間の距離がになるとひもが張って、小物体の間にはひもを介して瞬間的な力(撃力)がはたらく。このとき、ひもが張る前後において2つの小物体には力学的エネルギー保存則および運動量保存則が成立するものとする。なお、ひもを介して力を及ぼしあうことは衝突とはよばない。また、小物体の大きさは無視できるほど小さく、ひもの質量は無視できる。断りがない限りは床と小物体の間の摩擦も無視できる。重力加速度の大きさはである。速度の正の向きはx軸の正の向きとする。

T.小物体Pの質量をm,小物体Qの質量を (cは正の定数)とする。図1のように、で静止している小物体Qに小物体Pを速度 ()で衝突させた。ただし、この最初の衝突の時刻はである。

1 最初の衝突直後の小物体PQの速度を、cのうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。
2 2つの小物体は衝突後に離れていき、小物体間の距離がとなったところでひもが張った。この直後の小物体PQの速度を、cのうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。
3 ひもが張った後、しばらくして小物体PQが再び衝突した。、2回目の衝突の時刻を、cのうち必要なものを用いてそれぞれ表せ。
4 時刻t ()における小物体PQを合わせた2物体の重心の位置を、ct のうち必要なものを用いて表せ。

U.図2のように小物体PQの質量がともにMであり、小物体Qをばね定数kのばねに取り付けた装置を考える。ばねの右端は壁面に固定されており、ばねの左端は小物体Qと離れることはない。はじめ、小物体Qで静止しており、ばねは自然の長さである。その後、小物体Pを速度 ()で小物体Qに向かって運動させ、時刻1回目の衝突をさせた。小物体Qは衝突後、ばねの力を受けながら運動した。ただし、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。

5 2回目の衝突がで起こるためには、ひもの長さが、あるより長い必要がある。また、がこのより短いと、2回目の衝突は起こらない。このを、Mkのうち必要なものを用いて表せ。

がこのより長いという条件のもとで、2回目以降の衝突を考える。

6 2回目の衝突の時刻を、Mkのうち必要なものを用いて表せ。
7 回目の衝突の時刻を、Mknのうち必要なものを用いて表せ。ただし、nは正の整数である。

V.次に、U.で用いた装置に変更を加え、図3のようにの領域Aのみにおいて小物体Pと床の間に摩擦力がはたらくようにした。領域Aにおける小物体Pと床の間の動摩擦係数をμとする。で静止している小物体Qに小物体Pを速度 ()で衝突させたところ、小物体PQ2回目の衝突をした。その後、小物体PQはさらに衝突を繰り返し、回目と回目の衝突の間に小物体Pは領域Aの中心で静止した。ただし、Nは、ある正の整数である。小物体PQが最初に衝突してから、小物体Pが領域Aで静止するまでの間、小物体Qが領域Aに入ることはなかった。また、ばねは十分に長く、ばね定数も十分に大きいため、小物体Qは壁に当たることはないものとする。

8 上記の運動を実現するには、動摩擦係数μがある値をとる必要がある。その取りうるすべての値を、MkNのうち必要なものを用いて表せ。



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解答 ひもでつながれた2物体とばねに関する問題です。問7,問8はかなりややこしく、丁寧に考える必要があります。

T.問1 衝突直後の小物体PQの速度をとします。運動量保存より、
 ・・・@
弾性衝突なので、反発係数1反発係数の式より、
よって、 ・・・A
@に代入すると、
 ∴
Aに代入して、
よって、衝突直後の
Pの速度はQの速度は ......[]

2 1回目の衝突の後、2小物体は等速度運動します。ひもが張った直後の小物体PQの速度をとすると、ひもが張る前後の運動量保存より、
 ・・・B
ひもが張る前後の力学的エネルギー保存より、反発係数1の衝突と考えることができる(衝突・合体・分裂の問題を参照)ので、
よって、 ・・・C
Bに代入すると、
1の結果を代入して、

Cに代入し、問1の結果を用いて、
 ・・・D
よって、ひもが張った直後のPの速度はQの速度は0 ......[]
注.この結果は、Bと反発係数の式を連立して解かなくても予測できます。解答のみの問題なので注意してください。

3 最初の衝突からひもが張るまでの時間は、Dを用いて、,ひもが張ってから2回目の衝突までの時間は、問2の結果を用いて、,よって、2回目の衝突の時刻は、 ......[]

4 運動量が保存される系では、その重心は等速度運動を続けます。最初の衝突までの重心の速度はです。衝突後も、ひもが張った後も、重心はこの速度で運動を続けるので、重心の位置は、 ......[]

U.問5 質量が等しい2物体の衝突では速度が交換され(衝突・合体・分裂の問題を参照)、衝突直後の小物体PQの速度は、0です。ひもが充分に長ければ、小物体Q単振動して、ばねの最大縮みの位置(振動端)に達した後、反転してに戻り小物体Pと衝突します。ひもが短く、小物体Qが振動端に達する前にひもが張ってしまうと、小物体Px軸正方向に動き出してしまうため、2回目の衝突が起こらなくなります。
小物体Qの単振動(ばね振り子を参照)は、周期,角振動数であって、衝突位置が振動中心であり、衝突直後の速さが単振動の速さの最大値なので、単振動の公式より、振幅Aです。
でなければ
2回目の衝突が起こらなくなるので、 ......[]

6 1回目の衝突()から2回目の衝突までの時間は単振動の半周期です。2回目の衝突の時刻は、 ......[]

7 2回目の衝突直前の小物体Qの速度は、単振動の半周期後の速度です。2回目の衝突で、再び、小物体PQで速度を交換し、衝突直後の小物体Pの速度は,小物体Qの速度は0です。そこから時間の後、ひもが張り、T.の考察より、小物体Pの速度が0,小物体Qの速度がとなります。
小物体Qは、左向きに運動を開始し、時刻0から時刻までの単振動と同様の単振動をして、一旦、ばねの最大伸びの位置まで来て反転し、速度に戻ったところでひもが張り、小物体Pの速度が,小物体Qの速度が0になります。さらに時間の後、3回目の衝突がが起き、以後、同じ運動を繰り返します。
として、回目の衝突から回目の衝突までの時間は、単振動の半周期です。回目から回目の衝突までの時間は
2回目から3回目の衝突までの時間と同じく、です。
よって、回目の衝突の時刻、即ち、
1回目の衝突から回目の衝突までの時間は、 ......[]

V.問8 の領域A(幅は、)内で一旦止まると、摩擦が動摩擦から静止摩擦に変わり静止したままになります(摩擦力を参照)。従って、で静止するとき以外は、小物体Pは、領域Aを静止することなく通過していたことになります。問7と同様に、回目の衝突後、小物体Pは、まず左向きに領域Aを通過し、ひもが張って小物体Qが単振動した後にひもが張って、小物体Pは、右向きに領域Aを通過します。
2回目の衝突までに、小物体Pは、領域Aを通過しません。
4回目の衝突までに、小物体Pは、領域A2回通過します。
6回目の衝突までに、小物体Pは、領域A4回通過します。
回目の衝突までに、小物体
Pは、領域A回通過します。
回目の衝突後、左向きに領域
Aを通過している間にで静止するとき(領域A内を動いた距離は)、動摩擦力の仕事によって失われるエネルギーは(エネルギーの原理を参照)
 ・・・E
静止したときの運動エネルギーは0で、Eは、最初に小物体Pが持っていた運動エネルギーに等しいので、

回目の衝突後、右向きに領域Aを通過している間にで静止するとき、既に領域A回通過し、さらに領域A内をだけ動きます。動摩擦力の仕事によって失われるエネルギーは、
これが、最初に小物体Pが持っていた運動エネルギーに等しいので、

で静止するのは上記2通りの場合だけです。よって、動摩擦係数μが取りうる値は、 ......[]



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