阪大物理'24年前期[2]
磁場(磁界)が導体棒に及ぼす影響を考える。水平面(xy平面)内にx軸と平行な2本の導体レールが間隔dで設置されている。2本のレール上には、質量mの導体棒がy軸と平行に置かれており、導体棒はレール上をx軸と平行な方向に摩擦なしに滑ることができる。ただし、レールは十分に長く、導体棒が運動してもレール上から外れることはない。以下の問では、レール、導体棒や導線の抵抗と太さは無視してよく、これらに流れる電流により生じる磁場、および、コイル以外の回路の自己インダクタンスも無視してよい。

Ⅰ．ここでは、レール上の導体棒をPとよぶ。図1のように、の領域のレールの端部に、内部抵抗を無視できる起電力Eの電池、抵抗値Rの抵抗1，自己インダクタンスLのコイル、および、スイッチとを導線で接続した。さらに、の領域のレールの端部には、抵抗値Rの抵抗2とスイッチを導線で接続した。の領域にのみ、鉛直上向き(紙面に垂直に裏から表へ向かう向き)の一様な磁場があり、その磁束密度の大きさはBである。
はじめに、スイッチとを開いたままスイッチを閉じ、導体棒Pに外力を加え、の領域においてx軸の正の向きに一定の速さvで動かした。

問1　導体棒Pに発生する誘導起電力の大きさを求めよ。
問2　導体棒Pに加えている外力の大きさを求めよ。

次に、図2のように、スイッチを閉じたまま導体棒Pをの領域でから十分に離れた場所に静止させ、時刻にスイッチを閉じたところ、導体棒Pが動き始めた。その後しばらくすると、導体棒Pはの領域内で一定の速度に達した。

問3　導体棒Pの速度が一定になったときの速さを求めよ。
問4　スイッチを閉じてから導体棒Pの速度が一定になるまでの間に、抵抗2に流れる電流の時間変化を図示したものとして、最も適切なものを図3の(あ)から(け)の中から選んで記号で答えよ。ただし、抵抗2を流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。

次に、スイッチとを開き、導体棒Pをの領域で静止させた。そして、図4に示すように、スイッチを閉じ、導体棒Pを時刻にx軸の負の向きへ速さvで打ち出した。このあと、導体棒Pは時刻 ()にを通過して磁場のある領域へ入った。以下では、時刻t における導体棒Pの位置と導体棒に流れる電流を、それぞれ、，とする。

問5　との関係について、以下の文章の空欄に入るべき式を解答欄に記入せよ。ただし、導体棒Pに作用する力の正の向きはx軸の正の向きとし、導体棒Pに流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。

一般に、時刻t から微小な時間だけ経過したときの電流と導体棒の位置は、電荷量とを用いて、，と表される。のとき、自己誘導によってコイルに生じる起電力と磁場の中を運動する導体棒Pに生じる誘導起電力がつりあうことから、
　(1)
の関係が得られる。導体棒Pが時刻にを通過するときにはであるため、式(1)から、導体棒Pに流れる電流はとなる。この電流が流れることにより導体棒Pにはの力がはたらく。この力は、ばね定数がのばねによる復元力とみなすことができる。
問6　導体棒Pに流れる電流の時間変化を図示したものとして、最も適切なものを図5の(さ)から(て)の中から選んで記号で答えよ。ただし、導体棒Pに流れる電流の正の向きはy軸の正の向きとする。


問7　導体棒Pに流れる電流の大きさの最大値を求めよ。

Ⅱ．次に、図6に示すように、2本のレールと導体棒を2組に増やし、それぞれをz座標の値が異なる水平面内に設置した。そして、互いのレールをスイッチ，，抵抗値，，をもつ抵抗と導線を用いて接続した。ここでは、上側にあるレール上の導体棒をPとし、下側のレール上にある導体棒をQとよぶ。上下のレールと導体棒は、どちらも一様な磁場の中に置かれている。その磁束密度の大きさはBであり、磁場の向きはz軸の正の向きである。ただし、図6に記号Aで示したところでは2本の導線は接触していない。

はじめに導体棒PとQを静止させ、スイッチを開いたままでスイッチを閉じた。その後、外力を加えて導体棒Pをx軸の正の向きに一定の速さvで動かした。

問8　導体棒Pを一定の速度で動かし始めた直後に導体棒Qに作用する力の向きを、図6に示した(ア)または(イ)の記号で答えよ。また、その力の大きさを求めよ。
問9　導体棒Pを一定の速度で動かし始めてからしばらくすると、導体棒Qの速度は一定になった。このときの導体棒Qの速さを求めよ。

問9において導体棒Qの速度が一定になった後に、スイッチを閉じたままでスイッチも閉じた。スイッチを閉じた後も、導体棒Pをx軸の正の向きに一定の速さvで動かし続けた。

問10　スイッチを閉じた直後に抵抗値の抵抗に流れる電流の大きさを求めよ。
問11　スイッチを閉じてからしばらくすると、導体棒Qの速度は一定になった。このときの導体棒Qの速さを求めよ。



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解答　難問とは言えませんが、符号や起電力の向きなど随所に細かい注意が必要な問題です。Ⅱ．はまともにやると回路の連立方程式を解く計算が大変ですが、Ⅰ．の経験を活かして、要領よく計算したいものです。カンのいい人なら、カンで答えることもできそうです。

Ⅰ．問1　導体棒Pに発生する誘導起電力(フレミング右手の法則を参照)の大きさは、 ......[答]
起電力の向きは、導体棒Pに上から下向きに電流を流そうとする向きです。

問2　導体棒Pに流れる電流の大きさIは、オームの法則より、，導体棒Pに磁場が及ぼす力(フレミング左手の法則を参照)の大きさ、即ち、これとつり合う導体棒Pに加えている外力の大きさは、 ......[答]

電池Eをy軸負方向に流れる電流を，抵抗2をy軸正方向に流れる電流を，また、導体棒Pの速度をv，加速度をa，導体棒P(起電力は上が負、下が正)をy軸正方向に流れる電流をとします。右図を参照すると、
キルヒホッフ第1法則より、　･･･①
キルヒホッフ第2法則より、左側の閉回路について、　∴
右側の閉回路について、　∴ 　･･･②
，を①に代入すると、
　∴ 　･･･③
導体棒Pに働く力は(なら向きはx軸正方向)、
導体棒Pの運動方程式は、
　･･･④

問3　導体棒Pの速度が一定になるとき、導体棒Pの加速度
このとき、④より，③より、　∴ ......[答]

問4　抵抗2に流れる電流は、上記ののことです。②を見ると、は導体棒Pの速度vと同様の変化をします。を閉じて導体棒Pが動き始めるとき、で、③より，②より，④においてで導体棒Pの速度vが増加するのに伴い、②よりも次第に増加します。導体棒Pの速度が一定になるとき、問3と②より、です。そのような変化をしているグラフは、(く) ......[答]

問5　導体棒Pが磁場中()をx軸負方向に移動するとき、導体棒Pには下から上向きの起電力が発生します。導体棒Pにy軸正方向に流れる電流がコイルLに流れ込んで増大すると、コイルにはy軸正方向の逆起電力が生じます(自己誘導を参照)。導体棒Pに起電力が生じる(符号に注意。フレミング右手の法則より起電力はy軸正方向ですが、導体棒Pがx軸負方向に速さvで動くときであり、起電力です)ので、キルヒホッフ第2法則より、
　∴ 　･･･(1)　 ......[(a)]
(1)をとみて積分し、のとき，であることを考慮すると、

　(定積分を参照)
　･･･⑤
導体棒Pがx軸負方向に動くとき、導体棒Pにy軸正方向の起電力が生じて電流が流れ、x軸正方向に働く力Fは、⑤より、
　 ......[(b)]

問6　問5の導体棒に働く力Fを、ばね定数のばねによる復元力とみなすと、導体棒Pはにおいて、単振動の半周期分の運動をします。この間、⑤より、導体棒Pにはy軸正方向(問5[(b)]においてなのでです)の振動電流が流れます。単振動半周期分の運動後、導体棒Pはx軸正方向の速度を持っているので、磁場から影響を受けずにx軸正方向に等速度運動を続け、起電力はなくなり、となります。そのようになっているグラフは、(さ) ......[答]

問7　問5[(b)]によると単振動している間の運動方程式は、導体棒Pの加速度をaとして、
角振動数をωとして、単振動の公式：より、
単振動が始まった瞬間(振動中心で)の導体棒の速さvが単振動の速さの最大値です。の最大値は単振動の振幅Aに等しく、単振動の公式より、，
⑤でとして、電流の大きさの最大値は、
......[答]

Ⅱ．問8　を閉じて導体棒Pがx軸正方向に動き始めた直後、フレミング右手の法則より、導体棒Pにはy軸負方向の起電力が発生し、この起電力により、からz軸負方向に電流が流れます。この電流が導体棒Qをy軸正方向に流れ、フレミング左手の法則よりx軸正方向の力を磁場から受けます。　(イ) ......[答]
このとき、導体棒Pに発生する起電力の大きさはです。導体棒Qに流れる電流はオームの法則より、です。導体棒Qに働く力の大きさは、
......[答]

問9　導体棒Qにx軸正方向の力が働くので、導体棒Qがx軸正方向に動き始めます。動き始めた後、導体棒Qの速さをとすると、導体棒Qにy軸負方向の起電力を生じます。この起電力によって導体棒Qに流れる電流はy軸負方向に大きさで，導体棒Qに流れる電流は、導体棒Pに発生する起電力による電流(導体棒Qをy軸正方向に流れます)と合わせて、，この電流が磁場から受ける力は、
導体棒Qの運動方程式は、加速度をaとして、
導体棒Qの速度が一定になるとき、なので、 ......[答]

問10　導体棒Qの速度が一定になった後に、を閉じたままでを閉じ、導体棒Pをx軸正の向きに一定の速さvで動かし続けたとき、導体棒Qの速度がだとして、回路の状況を右図に示します。導体棒Pに発生する起電力、導体棒Qに発生する起電力、ともに向きはy軸負方向です。電流，，を右図のように定めると、
キルヒホッフ第1法則より、　･･･⑥
キルヒホッフ第2法則より、　･･･⑦
　･･･⑧
を閉じた直後には問9よりとして、⑦×＋⑧×より、
⑥より、
よって、抵抗値の抵抗に流れる電流の大きさは、
......[答]

問11　問3，問9と同様に、導体棒Qの速度が一定になるとき、導体棒Qの加速度は0で、導体棒Qに働く力は0です。そのためには、導体棒Qに流れる電流はとなります。⑥より，⑦より，，⑧より、
　∴ ......[答]



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