阪大物理'26年前期[2]

阪大物理'26年前期[2]

電流が流れている金属や半導体に磁場(磁界)をかけると、磁場に応じた電位差が生じる現象をホール効果とよぶ。このホール効果を利用して磁場を検知する磁場測定装置について考える。いま、図1に示す直方体の形をした半導体を考え、各辺に平行なx軸，y軸，z軸を定める。半導体のx軸方向の幅をL，y軸方向の幅をd，z軸方向の幅をhとする。半導体のキャリアとしてはたらく電子や正孔は、電荷をもつ粒子として振る舞うと考える。キャリア1個の電気量の大きさをq，単位体積あたりのキャリアの数をnとする。

Ⅰ．まず、磁場測定装置を構築するにあたり、半導体の基本特性を調査したい。図1に示すように、特性が既知の磁石で半導体を挟むことを考える。磁石間には、z軸に平行で、大きさ

の一様な磁束密度が生じている。半導体にはケイ素を用い、そこに不純物を添加してキャリアが正孔のp型半導体、キャリアが電子のn型半導体の2種類を用意し、いずれかを用いる。半導体側面に導線を接続し、x軸の正の向きに大きさIの電流を流す。

問1　ケイ素(原子番号14)の結晶に、アルミニウム(原子番号13)またはリン(原子番号15)を微量添加した半導体を作製したところ、電流が流れやすくなった。このときの半導体の種類として適切なものを、以下の(あ)～(う)の中からそれぞれ1つ選んで記号で答えよ。

(あ) p 型半導体，(い) n型半導体，(う) どちらでもない

問2　次に、半導体中のキャリアの運動について考える。キャリアが受けるローレンツ力の大きさFを、キャリアの速さv，q，

の中から必要なものを用いて表せ。ただし、キャリアは磁場に垂直な平面内で運動しているものとする。

問3　半導体中のキャリアは、ローレンツ力を受け A面またはB面に蓄積され、A面とB面の間に電場が生じた。電流を流して十分に時間が経ったところ、この電場からキャリアが受ける力とローレンツ力がつりあい、これ以上キャリアの蓄積が進まなくなった。この際のA面とB面の間に生じた電場の大きさEを、I，

，q，n，h，dの中から必要なものを用いて表せ。

問4　半導体における単位体積あたりのキャリアの数nを, 既知の量と測定可能な物理量で推定したい。測定可能な物理量は、A面とB面の間に生じる電圧の大きさ

，半導体を流れる電流の大きさI，半導体の各軸方向の幅h，d，Lである。また、磁束密度の大きさは

で既知である。さらに、半導体中のキャリア1個の電気量の大きさqは、既知の物理定数である電気素量と等しい。 nを、

，I，h，d，L，

，qの中から必要なものを用いて表せ。

問5　最後に、使用した半導体がp型半導体かn型半導体かを調べたい。A面の電位

とB面の電位

の大小関係と、使用した半導体の組み合わせとして適切なものを、以下の(え)～(き)の中からすべて選んで記号で答えよ。

	A面，B面の電位	半導体の種類
(え)		n型半導体
(お)		n型半導体
(か)		p型半導体
(き)		p型半導体

Ⅱ．次に、Ⅰ．で基本特性を明らかにした半導体のうち、p型半導体を用いた磁場測定回路を図2のように構築した。電源を半導体両端につなげ、大きさ

の電圧を加えた。半導体のA面，B面の間に生じる電位差は電圧計で測定した。なお、電圧計の内部抵抗は十分に大きく、回路への影響は無視できるものとする。また、電圧計のプラス端子を半導体のA面，マイナス端子をB面に接続した。図2で示す灰色面を半導体の正面とする。

問6　

を加えたことで半導体内に一様な電場が生じた。この電場によって半導体中のキャリアが受ける力の大きさ

を、

，q，L，h，dの中から必要なものを用いて表せ。

問7　電源電圧を加えた後、十分に時間が経ったときに、キャリアにはたらく抵抗力と

がつりあい、キャリアは一定の速さvで移動するようになった。この抵抗力の大きさ

は、比例定数cを用いて、

で表されるものとする。この状況におけるvを、q，

，c，L，h，dの中から必要なものを用いて表せ。

問8　内部抵抗が無視できる電流計で測定したところ、電源を流れる電流の大きさは

であった。半導体の抵抗率ρをh，d，L，

，

の中から必要なものを用いて表せ。

問9　cをρ，n，qの中から必要なものを用いて表せ。

Ⅲ．地球は北極付近をS極とし、南極付近を N極とする巨大な磁石とみなすことができ、この巨大磁石によって地磁気が生じている。図2で示した磁場測定回路を用いて、大阪における地磁気を測定することを考える。図3に示すように、磁場測定回路全体を箱に入れた磁場測定装置を、図2のx軸の正の向きが鉛直上向きになるように保持した。このときの半導体正面の向き(半導体正面に垂直で、半導体の外側に向かう向き)を基準の向きとする。そして、半導体の中心を貫く鉛直方向の軸を回転軸として、上から見て反時計回りに、磁場測定装置を基準の向きに対して角度θだけ回転させた. その結果、半導体が地磁気を感知し、電圧計は角度θに応じて図3に示すような値を示した。ただし、A面とB面の間に生じる電位差には、キャリアが受けるローレンツ力のうち、図2のy軸方向の成分のみが寄与するものとする。

問10　以下の文章の　(a)　に入るべき適切な数値を(く)～(さ)，　(b)　に入るべき適切な数値を(し)～(て)の中からそれぞれ選んで記号で答えよ。

図3のグラフより、地球のS極がある方角はθ = 　(a)　であると推定される。この方角を磁北と呼ぶ。一方、地球の自転軸の通る北極点の方角(真北)は、磁北からずれていることが知られている。国土地理院によると、大阪の場合、磁北は真北に対して西に約

ずれていることが知られている。このことから、地球の自転軸を基準とした真北、真西、真南、真東の方角がわかる。このうち, 真東の方角は、θ = 　(b)　であると推定できる。
(a)の選択肢

(く)

，(け)

，(こ)

，(さ)

(b)の選択肢

(し)

，(す)

，(せ)

，(そ)

，(た)

，(ち)

，(つ)

，(て)

問11　図3のグラフから推定される、地磁気の磁束密度の水平成分の大きさBは何Tか、有効数字2桁で求めよ。ただし、半導体の抵抗率は

，キャリア1個の電気量の大きさは

，単位体積あたりのキャリアの数は

，半導体の各軸方向の幅は

，

，電源電圧は

とする。

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解答　Ⅰ，Ⅱのホール効果の部分は平易です。どの文字を使って解答するのか、ということに注意しましょう。Ⅲは落ち着いて丁寧に考える必要があります。

Ⅰ．問1　ケイ素原子の最外殻電子は4個です。ケイ素の結晶では、この最外殻電子が周囲の4個のケイ素原子と4つの共有結合を作ります。アルミニウム原子では最外殻電子は3個で、アルミニウム原子がケイ素の結晶中に入り込むと、4つの共有結合を作ろうとする際に、電子が1個不足し、この電子の空き(正孔)が、正電荷を持つキャリアとなり、p型半導体となります。リン原子では最外殻電子は5個で、リン原子がケイ素の結晶中に入り込むと、4つの共有結合を作ってなお電子が1個余ります。この余った電子が負電荷を持つキャリアとなり、n型半導体となります。

アルミニウム：(あ)，リン：(い) ......[答]

問2　速さv，電気量の大きさqのキャリアが磁束密度の大きさ